Intuición detrás de la función de densidad de distribuciones t

Estoy estudiando sobre la distribución t de Student y comencé a preguntarme cómo derivaría la función de densidad de distribuciones t (de wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution ):

donde es los grados de libertad y \ Gamma es la función gamma. ¿Cuál es la intuición de esta función? Quiero decir, si miro la función de masa de probabilidad de la distribución binomial, tiene sentido para mí. Pero la función de densidad de distribuciones t no tiene ningún sentido para mí ... no es intuitiva a primera vista. ¿O es la intuición simplemente que tiene una curva en forma de campana y sirve a nuestras necesidades?$v$$\Gamma$

Thnx por cualquier ayuda :)

Si tiene una variable aleatoria normal estándar, , y una variable aleatoria chi-cuadrado independiente con df, entonces$Z$$Q$$\nu$

$T = Z/\sqrt{Q/\nu}$

tiene una distribución con df. (No estoy seguro de cómo se distribuye , pero no es ).$t$$\nu$$Z/Q$$t$

La derivación real es un resultado bastante estándar. Alecos lo hace de dos maneras aquí .

En cuanto a la intuición, no tengo una intuición particular para la forma funcional específica, pero se puede obtener un sentido general de la forma considerando que la distribución de chi independiente (escalada por ) en el denominador es correcta sesgar:$\sqrt \nu$

El modo está ligeramente por debajo de 1 (pero se acerca a 1 a medida que aumenta df), con alguna posibilidad de valores sustancialmente por encima y por debajo de 1. La variación en significa que la varianza de será mayor que la de . Los valores de sustancialmente por encima de 1 dará lugar a un -valor que está más cerca de 0 que es, mientras que los más sustancialmente inferiores a 1 resultará en un -valor que es además de 0 que es.$\sqrt{Q/\nu}$$t$$Z$$\sqrt{Q/\nu}$$t$$Z$$t$$Z$

Todo esto significa que los valores de serán (i) más variables, (ii) relativamente más altos y (iii) más pesados ​​que lo normal. A medida que aumenta df, se concentra alrededor de 1, y luego estará más cerca de lo normal.$t$$\sqrt{Q/\nu}$$t$

(el 'relativamente más alto' da como resultado un pico ligeramente más agudo en relación con la propagación, pero la mayor variación tira del centro hacia abajo, lo que significa que el pico es ligeramente más bajo con una df más baja)

Entonces esa es una intuición sobre por qué la ve como se ve.$t$

La respuesta de Glen es correcta, pero desde el punto de vista bayesiano también es útil pensar en la distribución t como una mezcla continua de distribuciones normales con diferentes variaciones. Puedes encontrar la derivación aquí:

Student t como mezcla de gaussiano

Creo que este enfoque ayuda a su intuición porque aclara cómo surge la distribución t cuando no conoce la variabilidad exacta de su población.