¿La aplicación de ARMA-GARCH requiere estacionariedad?

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Voy a usar el modelo ARMA-GARCH para series de tiempo financieras y me preguntaba si la serie debería ser estacionaria antes de aplicar dicho modelo. Sé que para aplicar el modelo ARMA, la serie debe ser estacionaria, sin embargo, no estoy seguro de ARMA-GARCH, ya que incluyo errores GARCH que implican agrupamiento de volatilidad y varianza no constante y, por lo tanto, series no estacionarias, sin importar la transformación que haga. .

¿Las series de tiempo financieras suelen ser estacionarias o no estacionarias? Intenté aplicar la prueba ADF a algunas series volátiles y obtuve un valor p <0.01 que parece indicar estacionariedad, pero el principio de la serie volátil en sí misma nos dice que la serie no es estacionaria.

¿Alguien puede aclararme eso? Estoy realmente confundido

time-series finance arma

— ankc
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Copiado del resumen del artículo original de Engle :
"Estos son procesos de media cero, no correlacionados en serie con variaciones no constantes condicionadas al pasado, pero variaciones constantes e incondicionales. Para tales procesos, el pasado reciente proporciona información sobre la variación del pronóstico de un período".

Continuando con las referencias, como lo muestra el autor que presentó GARCH (Bollerslev, Tim (1986). " Heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada ", Journal of Econometrics, 31: 307-327) para el proceso GARCH (1,1), es suficiente que para estacionariedad de segundo orden. $\alpha_1 + \beta_1 <1$

La estacionariedad (la necesaria para los procedimientos de estimación) se define en relación con la distribución incondicional y los momentos.

ADENDA
Para resumir aquí la discusión en los comentarios, el enfoque de modelado GARCH es una forma ingeniosa de modelar la sospecha de heterocedasticidad a lo largo del tiempo, es decir, de alguna forma de heterogeneidad del proceso (que haría que el proceso no sea estacionario) como una característica observada que proviene de la existencia de memoria del proceso, que en esencia induce la estacionariedad en el nivel incondicional.

En otras palabras, tomamos a nuestros dos "grandes oponentes" en el análisis de procesos estocásticos (heterogeneidad y memoria), y usamos uno para neutralizar al otro, y esta es una estrategia inspirada.

— Alecos Papadopoulos
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No estoy seguro de cómo responde esto a mi pregunta, ¿puede explicarlo? ¿Es posible que una serie volátil se defina como estacionaria?

— ankc

Si una serie de tiempo exhibe agrupamiento de volatilidad, ¿eso no significa que la serie en no estacionaria y GARCH no se puede aplicar a ella (si no es estacionaria)?

— ankc

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Supongo que por "agrupamiento de volatilidad" quiere decir que parece que la serie de tiempo se caracteriza por diferentes variaciones en diferentes intervalos. Primero, esto es solo una indicación de posible no estacionariedad, no una prueba. En segundo lugar, el modelo ARCH y sus extensiones intentan explicar este "agrupamiento de volatilidad" modelando la varianza condicional como que cambia el tiempo, mientras se mantiene el supuesto de una varianza incondicional constante (y, por lo tanto, el supuesto de estacionariedad de segundo orden).

— Alecos Papadopoulos

Bueno, supongamos que efectivamente hay agrupación de volatilidad. La serie en sí sería no estacionaria, entonces, ¿cómo puedo aplicar un modelo GARCH a una serie no estacionaria, ya que mpiktas dijo que GARCH debería aplicarse a las series estacionarias.

— ankc

No, la agrupación de volatilidad no implica necesariamente no estacionariedad. Entonces, si puede ser "explicado" por el modelado GARCH, entonces puede operar bajo la suposición de estacionariedad incondicional. De hecho, esto parece un poco circular, pero, de nuevo, casi nunca podemos estar seguros de que un proceso estocástico observado real sea, o no, estacionario.

— Alecos Papadopoulos

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Sí, la serie debe ser estacionaria. Los modelos GARCH son en realidad procesos de ruido blanco con una estructura de dependencia no trivial. El modelo clásico GARCH (1,1) se define como

r_{t} = σ_{t} ε_{t},

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t,$

con

σ_{t}^{2} = α_{0} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2},

$\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2,$

donde son variables normales estándar independientes con varianza unitaria. $\varepsilon_t$

Luego

E r_{t} = E E (r_{t} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = E σ_{t} E (ε_{t} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = 0

$Er_t=EE(r_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=E\sigma_tE(\varepsilon_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=0$

y

E r_{t} r_{t - h} = E E (r_{t} r_{t - h} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = E r_{t - h} σ_{t} E (ε_{t} | ε_{t - 1}, ε_{t - 2}, . . .) = 0

$Er_tr_{t-h}=EE(r_tr_{t-h}|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=Er_{t-h}\sigma_{t}E(\varepsilon_t|\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},...)=0$

para . Por lo tanto, es un proceso de ruido blanco. Sin embargo, es posible demostrar que es en realidad un proceso . Entonces GARCH (1,1) es un proceso estacionario, pero tiene una varianza condicional no constante. $h>0$ $r_t$ $r_t^2$ $ARMA(1,1)$

— mpiktas
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¿Cómo puede una serie ser estacionaria si exhibe volatilidad? ¿Cómo define la estacionariedad al aplicar un modelo GARCH?

— ankc

¿Estaría bien si incluyo los términos AR y MA en mi ecuación media? Si la serie de retorno exhibe alguna autocorrelación en rezagos cortos.

— ankc

Estacionario significa media constante, varianza y correlación dependiendo solo del retraso. Los términos AR y MA se pueden incluir en la ecuación media. La clave en los procesos GARCH es la volatilidad condicional. Tenga en cuenta que la volatilidad no es la varianza. La volatilidad media es la varianza de la serie.

— mpiktas

Como referencia, por ejemplo, los datos de SP500 en R, los datos de retorno parecen ser constantes en su media pero exhiben heterocedasticidad condicional flagrante. Entonces, ¿es posible aplicar un modelo GARCH a pesar de tener una varianza no constante?

— ankc

por lo general, ¿puedo aplicar el modelo GARCH a cualquier serie de retorno de registros que muestre agrupamiento de volatilidad? Pregunto esto porque vi en una disertación que la prueba ADF se aplicó para probar la estacionariedad, por lo que pensé que la estacionariedad era necesaria antes de aplicar el modelo GARCH .

— ankc

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Para cualquiera que todavía se pregunte sobre esta pregunta, aclararé: la agrupación de volatilidad no implica en absoluto que la serie no sea estacionaria. Sugeriría que hay un régimen de variación condicional cambiante, que aún puede satisfacer la constancia de la distribución incondicional.

$\alpha_{1}+\beta>1$ $\alpha_{1}$ $\beta$ $\alpha_{1}$ $\beta>1$

Sin embargo, es importante tener en cuenta que si el modelo GARCH (1,1) no es estacionario, el término constante en la varianza condicional no se estima consistentemente.

$\alpha_{1}+\beta=1$

La estacionariedad es bastante incomprendida, y solo está parcialmente conectada a si la varianza o la media parece estar cambiando de manera profesional, ya que esto puede ocurrir mientras el proceso mantiene una distribución incondicional constante. La razón por la que puede pensar que los aparentes cambios en la varianza pueden causar una desviación de la estacionariedad, es porque algo como el cambio de nivel permanente en la ecuación de la varianza (o la ecuación media) rompería por definición la estacionariedad. Pero si los cambios son causados por la especificación dinámica del modelo, aún puede ser estacionario a pesar de que la media es imposible de identificar y la volatilidad cambia constantemente. Otro hermoso ejemplo de esto es el modelo DAR (1,1) introducido por Ling en 2002.

— Lovecraft
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¡Buena respuesta! ¿DAR (1,1) estándar para ARIMA (1,1,0)? Si no es así, ¿por qué no se dirigió a los modelos ARIMA no estacionarios?

— Michael R. Chernick

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La estacionariedad es un concepto teórico que luego se modifica a otras formas como la estacionalidad de sentido débil que se puede probar fácilmente. La mayoría de las pruebas tienen gusto de la prueba adf como usted ha mencionado la prueba para condiciones lineales solamente. Los efectos ARCH están hechos para series que no tienen autocorrelación en el primer orden pero hay dependencia en las series al cuadrado.

El proceso ARMA-GARCH del que habla, aquí se elimina la dependencia de segundo orden utilizando la parte GARCH y luego cualquier dependencia en los términos lineales es capturada por el proceso ARMA.

La forma de hacerlo es verificar la autocorrelación de la serie al cuadrado, si hay dependencia, luego aplique los modelos GARCH y verifique los residuos para cualquier propiedad de serie temporal lineal que luego pueda modelarse utilizando procesos ARMA.

— htrahdis
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Estaba pensando en adaptar el ARMA primero, luego ajustar los residuos a un modelo GARCH. ¿Esto es incorrecto? ¿Cómo puedo "verificar los residuales para cualquier propiedad de series temporales lineales que luego pueda modelarse usando procesos ARMA"? ¿Puede usarse la prueba de caja ljung para detectar el efecto ARCH?

— ankc

La forma más sencilla es buscar la función de correlación automática de la serie al cuadrado. Si es significativo, pruebe el modelo GARCH. Si se elimina la autocorrelación del cuadrado de los residuos, el GARCH ayuda a modelar la dependencia en la serie al cuadrado.

— htrahdis

Si hago eso, mi retorno medio será 0, ¿verdad? Quiero poder obtener un promedio que no sea una línea recta, como una función media que dependerá de los términos AR y MA + el error GARCH.

— ankc

hay tres cosas: una es la decisión de si hay efectos GARCH presentes, la otra es una justificación del uso de ARMA y GARCH y la tercera es ajustar el modelo cuando los dos anteriores son afirmativos. El ajuste no es tan simple como hacerlo en dos etapas diferentes. tienes que colocar las partes ARMA y GARCH simultáneamente. Hay métodos disponibles para esto.

— htrahdis

¿Se justificaría el uso de ARMA si hay correlaciones en la serie de retorno? Creo que hay paquetes en R que hacen el ajuste. Solo necesito saber cuándo aplicar un ARMA-GARCH o simplemente un GARCH. ¿Puedo usar la prueba ljung-box para probar los efectos GARCH?

— ankc