Función generadora de momentos del producto interno de dos vectores aleatorios gaussianos

¿Alguien puede sugerir cómo puedo calcular la función generadora de momentos del producto interno de dos vectores aleatorios gaussianos, cada uno distribuido como , independientes el uno del otro? ¿Hay algún resultado estándar disponible para esto? Cualquier puntero es muy apreciado. $\mathcal N(0,\sigma^2)$

— abhibhat
fuente

Primera dirección nos dejó el caso . Al final está la generalización (fácil) a arbitrario . $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$ $\Sigma$

Comience observando que el producto interno es la suma de las variables iid, cada una de ellas es el producto de dos variables normales independientes , reduciendo así la pregunta para encontrar el mgf de este último, porque el mgf de una suma es el producto de los mgfs. $(0,\sigma)$

El mgf se puede encontrar por integración, pero hay una manera más fácil. Cuando e son normales normales, $X$ $Y$

X Y = ((X + Y) / / 2)^{2} - ((X - Y) / / 2)^{2}

$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$

es una diferencia de dos variables Chi-cuadrado escaladas independientes. (El factor de escala es porque las varianzas de son iguales a .) Debido a que el MGF de una variable aleatoria chi-cuadrado es $1/2$ $(X\pm Y)/2$ $1/2$ , el mgf dees $1/\sqrt{1 - 2\omega}$ $((X+Y)/2)^2$ y el mgf de es $1/\sqrt{1-\omega}$ $-((X-Y)/2)^2$ . Multiplicando, encontramos que el mgf deseado es igual a $1/\sqrt{1+\omega}$ . $1/\sqrt{1-\omega^2}$

(Para referencia posterior, observe que cuando e son reescalados por , su producto se escala por , de donde debería escalar por ). $X$ $Y$ $\sigma$ $\sigma^2$ $\omega$ $\sigma^2$

Esto debería parecer familiar: hasta algunos factores constantes y un signo, parece la densidad de probabilidad para una distribución t de Student con grados de libertad. (De hecho, si hubiéramos estado trabajando con funciones características en lugar de mgfs, obtendríamos $0$ , que está aún más cerca de un PDF de Student t.) No importa que no exista un t de Student condfs; lo único que importa es que el mgf sea analítico en un vecindario dey esto claramente es (por el teorema binomial). $1/\sqrt{1 + \omega^2}$ $0$ $0$

De ello se deduce inmediatamente que la distribución del producto interno de estos vectores gaussianos iid tiene mgf igual al producto doble de este mgf, $n$ $n$

(1 - ω^{2} σ^{4 4})^{- norte / / 2}, norte = 1, 2, ... .

$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$

Al buscar la función característica de las distribuciones t de Student, deducimos (con un poco de álgebra o una integración para encontrar la constante de normalización) que el PDF en sí está dado por

F_{norte, σ} (X) = \frac{2^{\frac{1 - norte}{2}} El | X {El |}^{\frac{norte - 1}{2}} K_{\frac{norte - 1}{2}} (\frac{El | X El |}{σ^{2}})}{\sqrt{π} σ^{4 4} Γ (\frac{norte}{2})}

$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$

( es una función de Bessel). $K$

Por ejemplo, aquí es un gráfico de que PDF superpuesto sobre el histograma de una muestra aleatoria de tales productos interiores donde y : $10^5$ $\sigma=1/2$ $n=3$

Histograma

Es más difícil confirmar la precisión de la mgf a partir de una simulación, pero tenga en cuenta (del teorema binomial) que

(1 + t^{2} σ^{4 4})^{- 3 / / 2} = 1 - \frac{3 σ^{4 4} t^{2}}{2} + \frac{15 σ^{8} t^{4 4}}{8} - \frac{35 σ^{12} t^{6 6}}{dieciséis} + \frac{315 σ^{dieciséis} t^{8}}{128} + ...,

$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$

de donde podemos leer los momentos (divididos por factoriales). Debido a la simetría sobre , solo importan los momentos pares. Para se obtienen los siguientes valores, para ser comparado con los momentos primas de esta simulación: $0$ $\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

Como era de esperar, los momentos altos de la simulación comenzarán a partir de los momentos dados por el mgf; pero al menos hasta el décimo momento, hay un excelente acuerdo.

Por cierto, cuando la distribución es bi-exponencial. $n=2$

Para manejar el caso general, comience observando que el producto interno es un objeto independiente de coordenadas. Por lo tanto, podemos tomar las direcciones principales (vectores propios) de como coordenadas. En estas coordenadas el producto interno es la suma de independientes productos de independiente normal variables aleatorias, cada componente distribuido con una varianza igual a su valor propio asociado. Por lo tanto, dejando que los valores propios distintos de cero sean (con ), el mgf debe ser igual a $\Sigma$ $\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$ $0 \le d \le n$

{(\prod_{yo = 1}^{re} (1 - ω^{2} σ_{yo}^{4 4}))}^{- 1 / / 2} .

$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$

Para confirmar que no cometí ningún error en este razonamiento, elaboré un ejemplo donde es la matriz $\Sigma$

(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{4 4} \\ - \frac{1}{8} & - \frac{1}{4 4} & \frac{1}{2} \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$

y calculó que sus valores propios son

(σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, σ_{3}^{2}) = (\frac{1}{dieciséis} (17 + \sqrt{sesenta y cinco}), \frac{1}{dieciséis} (17 - \sqrt{sesenta y cinco}), \frac{3}{8}) \approx (1.56639, 0.558609, 0,375) .

$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$

$10^6$ $X_i$ $(0,\Sigma)$ $10^6$ $Y_i$ $10^6$ $X_i\cdot Y_i$ $-12$ $15$

Histograma y PDF

Como antes, el acuerdo es excelente. Además, los momentos coinciden bien hasta el octavo y razonablemente bien incluso en el décimo:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

Apéndice

(Agregado el 9 de agosto de 2013).

$f_{n,\sigma}$ $0$ $0$ $\sigma^2$ $n/2$

— whuber
fuente

Σ

$\Sigma$

Agregué una nueva sección para proporcionar algunos de los detalles (fáciles) de esta generalización, para dejar en claro que no hay nada nuevo aquí. También puede usar las propiedades básicas de mgfs para escribir el mgf en el caso de que los datos también tengan medios distintos de cero, resolviendo así el problema en general.

— whuber