¿Qué procesos podrían generar datos o parámetros distribuidos por Laplace (doble exponencial)?

16

Muchas distribuciones tienen "mitos de origen", o ejemplos de procesos físicos que describen bien:

Puede obtener datos distribuidos normalmente a partir de sumas de errores no correlacionados a través del Teorema del límite central
Puede obtener datos distribuidos binomialmente de lanzamientos de monedas independientes o variables distribuidas por Poisson desde un límite de ese proceso
Puede obtener datos distribuidos exponencialmente a partir de tiempos de espera bajo una tasa de disminución constante.

Y así.

Pero, ¿qué pasa con la distribución de Laplace ? Es útil para la regularización L1 y la regresión LAD , pero es difícil para mí pensar en una situación en la que uno debería esperar verlo en la naturaleza. La difusión sería gaussiana, y todos los ejemplos en los que puedo pensar con distribuciones exponenciales (por ejemplo, tiempos de espera) implican valores no negativos.

distributions laplace-distribution

— David J. Harris
fuente

2

Relacionado: stats.stackexchange.com/questions/71126/… .

— StubbornAtom

14

En la parte inferior de la página de Wikipedia que ha vinculado hay algunos ejemplos:

Si y son distribuciones exponenciales de IID, tiene una distribución de Laplace. $X_1$ $X_2$ $X_1 - X_2$
Si son distribuciones normales estándar IID, tiene una distribución estándar de Laplace. Por lo tanto, el determinante de una matriz aleatoria con entradas normales estándar IID tiene una distribución de Laplace. $X_1, X_2, X_3, X_4$ $X_1X_4 - X_2X_3$ $2\times 2$ $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$
Si son IID uniformes en , entonces tiene una distribución estándar de Laplace. $X_1, X_2$ $[0,1]$ $\log \frac{X_1}{X_2}$

— Douglas Zare
fuente

16

+1 Vale la pena notar que los tres ejemplos son realmente iguales: # 2 puede reescribirse como

((X_{1} + X_{4})^{2} + (X_{2} + X_{3})^{2} - [(X_{1} - X_{4})^{2} + (X_{2} - X_{3})^{2}]) / 4

$((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$ , una diferencia escalada de dos escalados

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$ (Exponencial) distribuciones, y # 3 es la diferencia de dos distribuciones exponenciales porque el

\log (X_{i})

$\log(X_i)$ son exponenciales.

— whuber

2

@whuber: ¡Gracias por esa explicación de por qué el determinante fue el mismo que los demás! Me sorprendió verlo, ya que habría adivinado que la densidad del determinante variaría suavemente, como lo hace en todas partes, excepto en

0

$0$ .

— Douglas Zare

2

Así que estoy tratando de pensar en una "historia" que se ajuste a cualquiera de los ejemplos en wikipedia. Digamos que estoy jugando pinball con mi hermano igualmente malo. Cada juego jugamos una pelota cada uno. Aproximadamente en cualquier momento dado, existe la misma posibilidad de que yo (o él) pierda una pelota y el puntaje es básicamente una función lineal de cuánto tiempo juego. Entonces mi puntaje (y el suyo) podría ser modelado por una distribución exponencial y la diferencia entre el puntaje de mi hermano y yo en cada ronda será distribuida por Laplace. ¿Tipo de obras?

— Rasmus Bååth

2

Defina una distribución geométrica compuesta como la suma de $N_p$ iid variables aleatorias $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ , donde $N_p$ se distribuye como una distribución geométrica con el parámetro $p$ . Suponga que las variables aleatorias iid $X_i$ tienen una media finita $\mu$ y una varianza $v$ .

Gnedenko demostró que en el límite $p\to 0$ , la distribución geométrica compuesta se aproxima a una distribución de Laplace.

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

La densidad de la $Laplace(a,b)$ is $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

B.V Gnedenko, Limit theorems for Sums of random number of positive independent random variables, Proc. 6th Berkeley Syposium Math. Stat. Probabil. 2, 537-549, 1970.

— danp
fuente