A menudo veo que aparece el término ruido blanco cuando leo sobre diferentes modelos estadísticos. Sin embargo, debo admitir que no estoy completamente seguro de lo que esto significa. Generalmente se abrevia como $WN(0,σ^2)$ . ¿Eso significa que normalmente se distribuye o podría seguir alguna distribución?

TL; DR

La respuesta es NO, no tiene que ser normal; SÍ, pueden ser otras distribuciones.

Colores del ruido

Hablemos de los colores del ruido.

1. El ruido que hace un bebé durante el viaje aéreo no es blanco. Tiene color.
2. El ruido que hace el motor de un avión tampoco es blanco, pero no tiene el mismo color que el ruido de los niños. Es mas blanco.
3. El ruido que produce un océano o un bosque es casi blanco.

Si usa auriculares con cancelación de ruido, sabe que el número 1 es imposible de cancelar. Atravesará cualquier auricular con facilidad. # 2 será cancelado muy bien.

En cuanto al # 3, ¿por qué lo cancelarías?

Origen de un término "color"

¿Cuál es la distinción entre estos tres ruidos? Proviene del análisis espectral . Como sabes desde la secundaria, puedes enviar la luz blanca a través de un prisma y la dividirá en diferentes colores. Eso es lo que llamamos blanco: todos los colores en aproximadamente la misma proporción. Ningún color domina.

la imagen es de https://www.haikudeck.com/waves-and-light-vocabulary-uncategorized-presentation-w5bmS88NC9

El color es la luz de cierta frecuencia, o podría decir ondas electromagnéticas de cierta longitud de onda como se muestra a continuación. El color rojo tiene baja frecuencia en relación con el azul, de manera equivalente, el color rojo tiene una longitud de onda más larga de casi 800 nm en comparación con la longitud de onda azul de 450 nm.

la imagen es de aquí: https://hubpages.com/education/Teachers-Guide-for-Radiation-beyond-Visible-Spectrum

Análisis espectral

Si toma ruido, ya sea acústico, de radio u otro, y lo envía a través de la herramienta de análisis espectral como FFT, obtendrá descomposición espectral. Verá la cantidad de cada frecuencia en el ruido, como se muestra en la siguiente imagen de Wikipedia. Está claro que esto no es ruido blanco: tiene picos claros a 50Hz, 40Hz, etc.

Si sobresale una banda de frecuencia estrecha, se llama de color, como no en blanco . Entonces, el ruido blanco es como la luz blanca, tiene una amplia gama de frecuencias en aproximadamente la misma proporción que se muestra en la siguiente figura de este sitio . La tabla superior muestra la grabación de la amplitud, y la inferior muestra la descomposición espectral. No se destaca la frecuencia. Entonces el ruido es blanco.

Seno perfecto

Ahora, ¿por qué la secuencia de números aleatorios independientes distribuidos idénticamente (iid) genera el ruido blanco? Pensemos en lo que hace que una señal sea de color. Son las ondas de cierta frecuencia que sobresalen de otras. Ellos dominan el espectro. Considere una onda de signo perfecta: . Veamos cuál es la covarianza entre dos puntos segundos de diferencia: φ = 1 / 2 E [ pecado ( 2 π t ) × pecado ( 2 π ( t + 1 / 2 ) ] = - E [ pecado 2 ( 2 π t ) ] = - $\sin(2\pi t)$$\phi=1/2$

Entonces, en presencia de la onda sinusoidal, obtendremos autocorrelación en la serie de tiempo: ¡todas las observaciones de medio segundo de separación estarán perfectamente correlacionadas negativamente! Ahora, decir que nuestros datos son iid implica que no hay autocorrelación alguna. Esto significa que no hay ondas en la señal. El espectro del ruido es plano.

Ejemplo imperfecto

Aquí hay un ejemplo que creé en mi computadora. Primero grabé mi diapasón , luego grabé el ruido de los ventiladores de la computadora. Luego ejecuté el siguiente código MATLAB para analizar los espectros:

[y,Fs] = audioread(filew);

data = y(1000:5000,1);
plot(data)
figure
periodogram(data,[],[],Fs);
[pxx,f] = periodogram(data,[],[],Fs);
 [pm,i]=max(pxx);
 f(i)

Aquí está la señal y el espectro del diapasón. Como se esperaba, tiene un pico de alrededor de 440Hz. El diapasón debe producir una señal de onda sinusoidal casi ideal, como en mi ejemplo teórico anterior.

Luego hice lo mismo con el ruido. Como era de esperar, no se destaca la frecuencia. Obviamente este no es el ruido blanco, pero se acerca bastante. Creo que debe haber una frecuencia muy alta, me molesta un poco. Necesito cambiar el ventilador pronto. Sin embargo, no lo veo en el espectro. Quizás porque mi micrófono está más que mal, o la frecuencia de muestreo no es lo suficientemente alta.

La distribución no importa

La parte importante es que en la secuencia aleatoria los números no están autocorrelacionados (o incluso son más fuertes, independientes). La distribución exacta no es importante. Podría ser gaussiano o gamma, pero mientras los números no se correlacionen en la secuencia, el ruido será blanco.

El ruido blanco simplemente significa que la secuencia de muestras no está correlacionada con media cero y varianza finita. No hay restricción en la distribución de la que se extraen las muestras. Ahora, si las muestras provienen de una distribución Normal, tiene un tipo especial de ruido blanco llamado ruido blanco gaussiano.