Solicitar la verificación de un resultado de matriz simple

Suponer $X$ es un $k\times 1$Vector de variables aleatorias. Entonces por favor verifique que$EX^{\prime}(EXX^{\prime})^{-1}EX\leq 1$.

Cuando $K=1$ Este es un resultado bien conocido que $(EX)^{2}\leq EX^{2}$. Pero, ¿cómo puedo reclamar esto en general?

Dejar $\mu = EX$ y $\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$. Entonces necesitamos mostrar

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1.$$

Dejar $C = E(XX^T)$ así que eso $\Sigma = C - \mu\mu^T$. Usando el lema determinante de la matriz y la existencia de$C^{-1}$ Podemos ver eso $\Sigma^{-1}$ existe exactamente cuando $\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$. Si$\mu^T C^{-1} \mu = 1$ hemos terminado, así que WLOG asumimos $\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$.

Luego, según la fórmula de Sherman-Morrison , tenemos

$$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1$$ ya que $\Sigma^{-1}$ es PSD tan $c \geq 0$.