Calcular la distribución acumulativa de la reducción máxima de la caminata aleatoria con deriva

Estoy interesado en la distribución de la reducción máxima de una caminata aleatoria: Sea donde . La reducción máxima después de períodos es . Un artículo de Magdon-Ismail et. Alabama. proporciona la distribución para la reducción máxima de un movimiento browniano con deriva. La expresión implica una suma infinita que incluye algunos términos definidos solo implícitamente. Tengo problemas para escribir una implementación que converja. ¿Alguien sabe de una expresión alternativa del CDF o una implementación de referencia en el código?$X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$$n$$\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$

Esta es una suma alterna. Cada par sucesivo casi se cancela; tales sumas de pares eventualmente disminuyen monotónicamente.

Un enfoque, entonces, es calcular la suma en pares donde = {1,2}, {3,4}, {5,6}, etc. (Al hacerlo, también se eliminan muchos errores de coma flotante). Más trucos pueden ayudar:$n$

(1) Para resolver para una constante positiva , un buen valor inicial para buscar, y una aproximación excelente para la raíz más grande es . Sospecho que Newton-Raphson debería funcionar realmente bien.$\tan(t) = t / \alpha$$\alpha$$n^\text{th}$$t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

(2) Después de un pequeño número de términos iniciales, las sumas de pares comienzan a disminuir de tamaño muy, muy consistentemente. Los logaritmos de los valores absolutos de pares espaciados exponencialmente disminuyen rápidamente casi linealmente. Esto significa que puede interpolar entre un número muy pequeño de sumas de pares calculadas para estimar todas las sumas de pares que no calculó. Por ejemplo, calculando los valores solo para pares (2,3), (4,5), (8,9), (16,17), ..., (16384, 16385) y construyendo el polinomio de interpolación para estos (pensado como los valores de una función en 1, 2, ..., 14) y utilizando los argumentos$h = \mu = \sigma = 1$, Pude lograr una precisión de seis cifras para los peores errores. (Aún mejor, los errores oscilan en el signo, lo que sugiere que la precisión en los valores interpolados sumados podría ser bastante mejor que seis cifras). Probablemente podría estimar la suma límite a una buena precisión extrapolando linealmente al final de estos valores (que se traduce en una ley de poder) e integrando la función de extrapolación hasta el infinito. Para completar este cálculo de ejemplo, también necesita el primer término. Eso proporciona precisión de seis cifras por medio de solo 29 términos calculados en la suma.

(3) Tenga en cuenta que la función realmente depende de y , no de las tres variables de forma independiente. La dependencia de es débil (como debería ser); Es posible que se contente con fijar su valor en todos sus cálculos.$h/\sigma$$\mu/\sigma$$T$

(4) Además de todo esto, considere usar algunos métodos de aceleración en serie , como el método de Aitken . Una buena contabilidad de esto aparece en Recetas Numéricas .

Adicional

(5) Puedes estimar la cola de la suma con una integral. Al escribir , se puede la ecuación (con ) para , que es pequeño, y luego para sustituyendo de nuevo. Expandir la tangente en una serie de Taylor en da la solución aproximada$\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$$\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$$\alpha = \mu h / \sigma^2$$t_n$$\theta_n$$t_n$

donde .$z = (n + 1/2)\pi$

Siempre que sea ​​suficientemente grande, los factores exponenciales de la forma vuelven extremadamente cercanos a 1 para que pueda descuidarlos. Por lo general, estos términos se pueden descuidar incluso para pequeña porque es , lo que hace que el primer exponencial llegue a cero extremadamente rápido. (Esto sucede una vez que supera sustancialmente . ¡Haz tus cálculos para grande si puedes!)$n$$1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$$n$$\theta_n^2$$\Theta\left(n^2\right)$$n$$\alpha / T^{1/2}$$T$

Usar esta expresión para para sumar los términos para y nos permite aproximarlos (una vez que todo el humo se despeja) como$\theta_n$$n$$n+1$

Reemplazar la suma que comienza en por una integral sobre comienza en aproxima a la cola. (La integral debe multiplicarse por un factor común de .) El error en la integral es . Por lo tanto, para lograr tres cifras significativas, normalmente necesitará calcular alrededor de ocho de los términos en la suma y luego agregar esta aproximación de cola.$n = 2N$$N$$N - 1/4$$\exp(-\alpha)$$O(1/n^4)$

Puede comenzar mirando las funciones de distribución de reducción en fBasics . Por lo tanto, podría simular fácilmente el movimiento browniano con deriva y aplicar estas funciones como inicio.