¿Alguien puede sugerir cómo puedo calcular el segundo momento (o la función generadora del momento completo) del coseno de dos vectores aleatorios gaussianos , cada uno distribuido como , independientes el uno del otro? IE, momento para la siguiente variable aleatoria
La pregunta más cercana es la función generadora de momentos del producto interno de dos vectores aleatorios gaussianos que deriva MGF para el producto interno. También existe esta respuesta de mathoverflow que vincula esta pregunta con la distribución de valores propios de matrices de covarianza de muestra, pero no veo de inmediato cómo usarlas para calcular el segundo momento.
Sospecho que el segundo momento escala en proporción a la media de los valores propios de ya que obtengo este resultado a través de la manipulación algebraica para 2 dimensiones, y también para 3 dimensiones de adivinar y verificar. Para valores propios suman 1, el segundo momento es:
Usando lo siguiente para verificación numérica
val1[a_, b_, c_] := (a + b + c)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c])^2
val2[a_, b_, c_] := Block[{},
x := {x1, x2, x3};
y := {y1, y2, y3};
normal := MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, ( {
{a, 0, 0},
{0, b, 0},
{0, 0, c}
} )];
vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]
val1[1.5,2.5,3.5] - val2[1.5,2.5,3.5]
Comprobación de la fórmula para 4 variables (dentro de límites numéricos):
val1[a_, b_, c_,
d_] := (a + b + c + d)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c] + Sqrt[d])^2
val2[a_, b_, c_, d_] := Block[{},
x := {x1, x2, x3, x4};
y := {y1, y2, y3, y4};
normal :=
MultinormalDistribution[{0, 0, 0,
0}, {{a, 0, 0, 0}, {0, b, 0, 0}, {0, 0, c, 0}, {0, 0, 0, d}}];
vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]
val1[0.5, 1.5, 2.5, 3.5] - val2[0.5, 1.5, 2.5, 3.5]