¿Cómo puedo verificar si dos señales se distribuyen normalmente de manera conjunta?

Como se explica en esta página de Wikipedia , si dos variables aleatorias X e Y no están correlacionadas y normalmente se distribuyen conjuntamente, entonces son estadísticamente independientes.

Sé cómo verificar si X e Y están correlacionados, pero no tengo idea de cómo verificar si están distribuidos normalmente de manera conjunta. Casi no conozco ninguna estadística (aprendí lo que es una distribución normal hace un par de semanas), por lo que algunas respuestas explicativas (y posiblemente algunos enlaces a tutoriales) realmente ayudarían.

Entonces mi pregunta es esta: teniendo dos señales muestreadas un número finito de N veces, ¿cómo puedo verificar si las dos muestras de señales están distribuidas normalmente de manera conjunta?

Por ejemplo: las imágenes a continuación muestran la distribución conjunta estimada de dos señales, s1 y s2, donde:

x=0.2:0.2:34;
s1 = x*sawtooth(x); %Sawtooth
s2 = randn(size(x,2)); %Gaussian

ingrese la descripción de la imagen aquí

El pdf conjunto se estimó utilizando este estimador de densidad de kernel 2D .

A partir de las imágenes, es fácil ver que el pdf conjunto tiene una forma de colina centrada aproximadamente en el origen. Creo que esto es indicativo de que, de hecho, se distribuyen normalmente de manera conjunta. Sin embargo, me gustaría una forma de verificar matemáticamente. ¿Hay algún tipo de fórmula que pueda usarse?

Gracias.

— Rachel
fuente

Esta es una simulación en la que comienza con señales que no son conjuntamente normales por construcción , y su procedimiento estadístico parece estar demostrando que uno puede estar razonablemente seguro de que las señales son de hecho conjuntamente normales. Por lo tanto, si está verificando si (a) el método estadístico era aplicable, si se aplicó correctamente o si se interpretó correctamente, o (b) su método de generación de señales está conduciendo a señales que , de hecho, son conjuntamente normales, aunque un caso prima facie no puede ser hecho para la normalidad conjunta (como sería el caso si s1 = randn(size(x,2));; s2 = randn(size(x,2));??

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Eso sería (b). Quiero una forma de verificar si la distribución conjunta es de hecho normal.

— Rachel

Respuestas:

Además del examen gráfico, puede usar una prueba de normalidad . Para datos bivariados, las pruebas de Mardia son una buena opción. Cuantifican la forma de sus distribuciones de dos maneras diferentes. Si la forma parece no normal, las pruebas dan valores p bajos.

Las implementaciones de Matlab se pueden encontrar aquí .

— MånsT
fuente

Esto es más un comentario extendido que un esfuerzo por mejorar la sugerencia específica de @MånsT: la prueba estadística en general no son pruebas de qué distribución produjo datos, sino cuáles NO. Hay algunas pruebas que están "sintonizadas" para dar respuestas a la pregunta de normalidad: ¿NO es de una distribución normal? La prueba de una muestra de Kolmogorov-Smirnov es bastante conocida. La prueba de Anderson Darling es quizás más poderosa en el caso one-D. Deberías preguntarte seriamente, ¿POR QUÉ es importante la respuesta? A menudo las personas hacen la pregunta con fines estadísticos incorrectos. Su ejemplo ha demostrado que su prueba de globo ocular de gráficos tiene poca potencia contra una alternativa compuesta por una alternativa gaussiana de diente de sierra, pero no ha demostrado cómo esa falla afecta su pregunta subyacente.

— DWin
fuente

En este caso, la alternativa diente de sierra-gaussiano es de hecho cierto, ya que así es como se produjeron los datos, pero la prueba del globo ocular gráfico sugiere que no se debe rechazar el valor nulo (conjuntamente normal) . La mayoría de los estadísticos entienden que el no rechazo de lo nulo no es lo mismo que la aceptación de lo nulo, pero el OP quiere una razón matemática para convertir el no rechazo de lo nulo en un abrazo sincero de lo nulo como la verdad recibida (el malditos hechos).

— Dilip Sarwate

Si. Se entendió el hecho de que su intento de probar su simulación no pudo rechazar adecuadamente (como comentaste anteriormente). La forma en que uno debe abordar el problema de la baja potencia para un método es fundamental para el pensamiento estadístico y no estaba claro que tuviera una comprensión firme del principio subyacente. Pero no concluí que estaba requiriendo que una prueba matemática ratificara el resultado de su globo ocular.

— DWin

@DilipSarwate Si no puedo demostrar que la distribución conjunta es normal, me gustaría demostrar que existe una buena probabilidad de que sea así. No soy un estadístico en ningún sentido de la imaginación, pero ¿no sería el no rechazo de la nula al menos una buena indicación?

— Rachel

@DWin Quizás tengas razón y no he entendido el principio subyacente lo suficientemente bien. Como dije, ¡soy un novato en estadísticas! Sé que, de hecho, dos variables pueden distribuirse normalmente de manera conjunta, y me gustaría una forma de verificar si esto es cierto (al menos con un cierto nivel de confianza / probabilidad). Y PD: solo una pequeña nota: es una ella, no un él.

— Rachel

@ Rachel Lo que estás tratando de "probar", a saber. que las dos señales sean conjuntamente normales es prima facie no cierto ya que una se generó como una señal de diente de sierra y la otra es ruido gaussiano. Sin embargo, siente que son conjuntamente normales y que su prueba brinda fundamentos razonables para tal creencia. Como la Reina Roja le dijo a Alice: "A veces he creído hasta seis cosas imposibles antes del desayuno". Por lo tanto, tenga la certeza de que su prueba de gráficos / globo ocular de hecho le permite concluir con cierta seguridad de que las dos señales son de hecho conjuntamente normales y proceder de inmediato.

— Dilip Sarwate