Si , entonces ¿por qué ?

Vi lo siguiente en un libro de texto y tengo dificultades para comprender el concepto. Entiendo que se distribuye normalmente con E ( X_n ) = 0 y Var ( X_n ) = \ frac {1} {n} .$X_n$$X_n$$X_n$$\frac{1}{n}$

Sin embargo, no entiendo por qué multiplicar $X_n$ por $\sqrt n$ lo haría estándar normal.

Debido a que la varianza es una de segundo orden momento , en relación con la cuadratura, por lo que un factor que se cuadró.

Más precisamente, dado que la expectativa es una operación lineal, en general, si tiene un momento de orden centrado (el suyo es un momento de orden ):$d$$2$

$$\mu_{d}(X)=\operatorname {E} \left[X^{d}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{d}\,dF(x)\,$$ multiplicando por una constante resulta en obtener esa constante fuera de la integral, afectada con la potencia (siempre que la integral esté definida correctamente): $X$$d$

$$\mu_{d}(aX) = a^d \mu_{d}(X)\,.$$

Entonces, si multiplica por , la varianza (potencia de dos momentos) de se multiplica por .$X$$\sqrt{n}$$X$$(\sqrt{n})^2$

La media es un momento de primer orden, por lo que lo multiplicaría por , y como es para , la variable resultante todavía tiene media cero.$\sqrt{n}$$0$$X$

Supongamos que . Luego, Del mismo modo, si es una muestra aleatoria de , entonces la media de la muestra, $X\sim N(\mu, \sigma^{2})$

$$\begin{eqnarray*} X-\mu &\sim& N(0, \sigma^{2})\\ \frac{X-\mu}{\sigma}&\sim&N(0,1). \end{eqnarray*}$$ $X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$$N(\mu,\sigma^{2})$ $$\begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}&\sim & N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \bar{X}-\mu &\sim& N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}&\sim&N(0,1) \end{eqnarray*}$$