Desigualdad unilateral de Chebyshev para un momento superior

¿Existe un análogo a las desigualdades de Chebyshev en el momento superior en el caso unilateral?

La desigualdad de Chebyshev-Cantelli solo parece funcionar para la varianza, mientras que la desigualdad de Chebyshevs puede producirse fácilmente para todos los exponentes.

¿Alguien sabe de una desigualdad unilateral utilizando los momentos más altos?

approximation moments probability-inequalities

— Andreas Mueller
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Por conveniencia, supongamos que denota una variable aleatoria media cero continua con la función de densidad , y considere donde . Tenemos $X$ $f(x)$ $P\{X \geq a\}$ $a > 0$

P {X \geq a} = \int_{a}^{\infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f (x) d x = E [g (X)]

$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$

g (x) = 1_{[a, \infty)}

$g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$

n

$n$

b

$b$

h (x) = {(\frac{x + b}{a + b})}^{n} \geq g (x), - \infty < x < \infty,

$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$

E [h (X)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x) f (x) d x \geq \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f (x) d x = E [g (X)] .

$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$

a

$a$

b

$b$

\begin{matrix} (1) & P {X \geq a} \leq E [{(\frac{X + b}{a + b})}^{n}] = (a + b)^{- n} E [(X + b)^{n}] \end{matrix}

$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$

(1)

$(1)$

n

$n$

n

$n$

X

$X$

- b

$-b$

n = 2

$n = 2$

P {X \geq a}

$P\{X \geq a\}$

b = σ^{2} / a

$b = \sigma^2/a$

P {X \geq a} \leq \frac{σ^{2}}{a^{2} + σ^{2}} .

$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$

n

$n$

b

$b$

— Dilip Sarwate
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