¿Distribuciones no normales con asimetría cero y exceso de curtosis cero?

Sobre todo una pregunta teórica. ¿Hay ejemplos de distribuciones no normales que tengan los primeros cuatro momentos iguales a los normales? ¿Podrían existir en teoría?

Sí, los ejemplos con asimetría y exceso de curtosis ambos cero son relativamente fáciles de construir. (De hecho, los ejemplos (a) a (d) a continuación también tienen asimetría media-media de Pearson 0)

(a) Por ejemplo, en esta respuesta se da un ejemplo tomando una mezcla 50-50 de una variante gamma (que llamo $X$ ), y la negativa de una segunda, que tiene una densidad que se ve así:

Claramente, el resultado es simétrico y no normal. El parámetro de escala no es importante aquí, por lo que podemos hacerlo 1. La elección cuidadosa del parámetro de forma de la gamma produce la curtosis requerida:

1. La varianza de este doble gamma ( $Y$ ) es fácil de calcular en términos de la variante gamma en la que se basa: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ .

2. El cuarto momento central de la variable $Y$ es el mismo que $E(X^4)$ , que para una gamma ( $\alpha$ ) es $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

Como resultado, la curtosis es $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ . Esto es$3$cuando$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$, que ocurre cuando$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$.

$U_1\sim U(-1,1)$$U_2\sim U(-a,a)$$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$$M$$E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$.

Del mismo modo, $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$y entonces la curtosis es$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

$X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$$i=1,2$

$Y$$\sqrt{X_1}$$-\sqrt{X_2}$

$E(Y)=0$$E(|Y|)$ ser finito pero dado $E(X_1)$ es finito, tenemos eso)

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

por simetría (y el hecho de que existe el 3er momento absoluto) sesgo = 0

4to momento: $E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

curtosis = $\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

así que cuando $\lambda=\frac12$, curtosis es 3. Este es el caso ilustrado arriba.

(d) todos mis ejemplos hasta ahora han sido simétricos, ya que las respuestas simétricas son más fáciles de crear, pero también son posibles soluciones asimétricas. Aquí hay un ejemplo discreto.

Como puede ver, ninguno de estos ejemplos parece particularmente "normal". Sería simple hacer cualquier cantidad de variables discretas, continuas o mixtas con las mismas propiedades. Si bien la mayoría de mis ejemplos se construyeron como mezclas, no hay nada especial en las mezclas, aparte de que a menudo son una forma conveniente de hacer distribuciones con propiedades de la manera que desee, un poco como construir cosas con Lego.

Esta respuesta proporciona algunos detalles adicionales sobre la curtosis que deberían aclarar algunas de las consideraciones involucradas en la construcción de otros ejemplos.

Podrías igualar más momentos de manera similar, aunque requiere más esfuerzo hacerlo. Sin embargo, debido a que existe el MGF de lo normal, no puede hacer coincidir todos los momentos enteros de un normal con alguna distribución no normal, ya que eso significaría que sus MGF coinciden, lo que implica que la segunda distribución también fue normal.

Glen_b hace buenos puntos. Solo agregaría la consideración de la función Dirac Delta como grano adicional para el molino. Como señala Wikipedia, "El DDF es una función generalizada, o distribución, en la línea de números reales que es cero en todas partes excepto en cero, con una integral de uno sobre toda la línea real" con la consecuencia de que todos los momentos superiores del DDF son cero.

Paul Dirac lo aplica a la mecánica cuántica en su libro de 1931 Los principios de la mecánica cuántica, pero sus orígenes se remontan a Fourier, Lesbesgue, Cauchy y otros. El DDF también tiene análogos físicos para modelar la distribución, por ejemplo, del crack de un bate que golpea una pelota de béisbol.