¿Debería corregirse la desviación estándar en una prueba T de Student?

Usando la prueba T de Student, T-Critical se calcula mediante:

$t = \frac{\bar{X} - \mu_{0}}{s / \sqrt{n}}$

Mirando el artículo de Wikipedia sobre la Estimación imparcial de la desviación estándar, hay una sección Resultado para la Distribución normal que menciona un factor de corrección para la desviación estándar medida de la muestra, s , en función del tamaño de la muestra. Preguntas: $c_4(n)$

(1) ¿Se incluye este factor de corrección en los datos de la tabla T de Student, ya que es por grados de libertad?

(2) Si (1) es no, ¿por qué no?

— MaxW
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1) No, no lo es.

2) porque el cálculo de la distribución de la estadística de prueba depende del uso de la raíz cuadrada de la varianza ordinaria corregida por Bessel para obtener la estimación de la desviación estándar.

Si se incluyera, solo escalaría cada estadística t, y por lo tanto su distribución, por un factor (uno diferente en cada df); eso luego escalaría los valores críticos por el mismo factor.

Entonces, si lo desea, puede construir un nuevo conjunto de tablas "t" con utilizado en la fórmula para una nueva estadística, , luego multiplique todos los valores tabulados para por el correspondiente para obtener tablas para la nueva estadística. Pero podríamos basar fácilmente nuestras pruebas en estimaciones de ML de , lo que sería más simple de varias maneras, pero tampoco cambiaría nada sustantivo sobre las pruebas. $s*=s/c_4$ $t*=\frac{\overline{X}-\mu_0}{s*/\sqrt{n}}=c_4(n)t_{n-1}$ $t_\nu$ $c_4(\nu+1)$ $\sigma$

Hacer la estimación de la desviación estándar de población no sesgada solamente haría que el cálculo más complicado, y que no guardar nada en ninguna otra parte (el mismo , y seguiría siendo en última instancia conducir a la misma rechazo o no rechazo). [¿A que final? ¿Por qué no elegir MLE o MSE mínimo o cualquier otra forma de obtener estimadores de ?] $\bar{x}$ $\overline{x^2}$ $n$ $\sigma$

No hay nada especialmente valioso en tener una estimación imparcial de para este propósito (la imparcialidad es algo bueno, ya que otras cosas son iguales, pero otras cosas rara vez son iguales). $s$

Dado que las personas están acostumbradas a usar las variaciones corregidas por Bessel y, por lo tanto, la desviación estándar correspondiente, y las distribuciones nulas resultantes son razonablemente sencillas, hay poco, si es que hay algo, que ganar usando alguna otra definición.

— Glen_b -Reinstate a Monica
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Gracias por la atenta respuesta. Las estadísticas de muestra pequeña son tan imprecisas que no parece que la corrección mágicamente solucione el problema de la muestra pequeña.

— MaxW

Lo siento, no estoy seguro de lo que estás haciendo allí. El término simplemente conduce a un estimador donde bajo muestreo normal. ¿De qué pequeño problema de muestra estamos hablando (presumiblemente, dado que la pregunta es acerca de la prueba t, ¿hay algún problema con la me perdí?) Y ¿cómo se 'solucionó'?

c_{4}

$c_4$

E (\hat{σ}) = σ

$E(\hat\sigma)=\sigma$

t

$t$

— Glen_b -Reinstate a Monica

Perdón por ser obtuso. Me refería a una situación en la que uno ha tomado 3 medidas y calculado la media, estándar. dev. e intervalo de confianza del 95% basado en esos datos. Con una muestra tan pequeña, el intervalo de confianza es enorme. Hacer la corrección de la desviación estándar no va a cambiar mágicamente la precisión y precisión de una muestra de 3 disparos significativamente.

— MaxW

Ah Gracias, ya veo. Tienes razón en que no sucede nada mágico; con muestras pequeñas, el intervalo de confianza será amplio, y escalar una estadística no afecta nada de eso; de hecho, podemos demostrarlo formalmente a través de las cantidades fundamentales utilizadas para construir los intervalos de confianza habituales.

— Glen_b -Reinstale a Monica