¿Cómo calcular el intervalo de predicción para una regresión múltiple de OLS?

¿Cuál es la notación algebraica para calcular el intervalo de predicción para la regresión múltiple?

Suena tonto, pero tengo problemas para encontrar una notación algebraica clara de esto.

multiple-regression least-squares prediction-interval

— Miguel
fuente

Tome un modelo de regresión con observaciones y regresores: $N$ $k$

y = X β + u

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

Dado un vector $\mathbf{x_0}$ , el valor predicho para esa observación sería

E [y | x_{0}] = {\hat{y}}_{0} = x_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$ Un estimador consistente de la varianza de esta predicción es

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$ donde

s^{2} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} {\hat{u}}_{i}^{2}}{N - k} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$ El error de pronóstico para un

y_{0}

$y_0$ particular es

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = x_{0} β + u_{0} - {\hat{y}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$ La covarianza cero entre

u_{0}

$u_0$ y

\hat{β}

$\hat \beta$ implica que

V a r [\hat{e}] = V a r [{\hat{y}}_{0}] + V a r [u_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$ y un estimador consistente de eso es

{\hat{V}}_{f} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'} + s^{2} .

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

El intervalo de $1-\alpha$ $\rm confidence$ será:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$ El intervalo de

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$ será más amplio:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{f}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— Dimitriy V. Masterov
fuente

La respuesta anterior está muy bien hecha, pero creo que esta fuente ayuda a proporcionar un contexto a la pregunta.

— June Skeeter

@ Dimitriy Creo que tu segunda ecuación debería tener una zanahoria / sombrero, '^', sobre el .

β

$\beta$

— Don Slowik

¿No es el error de pronóstico el residual: ?

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$

— Don Slowik