Tome un modelo de regresión con observaciones y regresores:
\ mathbf {y = X \ beta + u} \ newcommand {\ Var} {\ rm Var}Nky=Xβ+u
Dado un vector X0 0 , el valor predicho para esa observación sería
mi[ yEl | X0 0] = y^0 0= x0 0β^.
Un estimador consistente de la varianza de esta predicción es
V^p=s2⋅x0⋅(X′X)−1x′0,
donde s2=ΣNi=1u^2iN−k.
El error de pronóstico para un y0 particular es
e^=y0−y^0=x0β+u0−y^0.
La covarianza cero entre u0 y β^ implica que
Var[e^]=Var[y^0]+Var[u0],
y un estimador consistente de eso es
V^f=s2⋅x0⋅(X′X)−1x′0+s2.
El intervalo de confianza 1−α confidence será: y0±t1−α/2⋅V^p−−−√.
El intervalo de predicción 1−α prediction será más amplio: y0±t1−α/2⋅V^f−−−√.