Suficiencia o Insuficiencia

Considere una muestra aleatoria donde son iid variables aleatorias donde . Compruebe si es una estadística suficiente para . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

En primer lugar, ¿cómo podemos encontrar la distribución para $(X_1+2X_2+X_3)$ ? ¿O debería desglosarse en $X_1+X_2+X_2+X_3$ y luego esto seguirá $Bin(4,p)$ ? Creo que no porque tenga en cuenta que todas las variables no son independientes aquí.

Alternativamente, si utilizo la condición de factorización simplemente considerando la pmf conjunta de $(X_1,X_2,X_3)$ entonces $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ donde $t(x)=x_1+2x_2+x_3$ .

Esto muestra que $T$ no es suficiente.

Pero, ¿qué pasa si quiero seguir la definición y quiero aplicar $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ para verificar si esta relación es independiente de $p$ ? Entonces necesito saber la distribución de $g$ . Entonces, ¿cuál es la distribución de $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ ?

inference point-estimation sufficient-statistics

— Landon Carter
fuente

Sugerencia: No necesita conocer la distribución completa de . Considere, por ejemplo, el caso : ¿cuál es la distribución de probabilidad condicional de ?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Si entonces . Entonces que depende de , ¿correcto?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Landon Carter

Esa es la idea correcta, pero no veo por qué está agregando las dos probabilidades. ¿No es un vector ? (Si lo desea, puede usar el mismo tipo de cálculos para encontrar la distribución completa de (solo puede alcanzar los valores ), pero ya no es necesario, ¿verdad? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

Sí claro. ¡Gracias! Entonces, una vez que demostremos que esta relación no es independiente de durante al menos una muestra, ¡ya está! Gracias. Y FELIZ AÑO NUEVO :)

p

$p$

— Landon Carter

Sí,

es un vector, pero lo más importante es

y la probabilidad

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

. Por favor, corríjame si estoy equivocado.

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Landon Carter

Tuve una discusión con "whuber" y tal vez obtuve una pista (¿correcta?) Para mirar cualquier punto de muestra: evaluar en ese punto de muestray compruebe si esta relación es independiente del parámetro, en este caso. $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

Entonces tome luego . Entonces evaluamos $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ . Ahora,Debido a la propiedad iid, $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 iff X \in {(1, 0 0, 1), (0 0, 1, 0 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

También

PAG (X = (1, 0 0, 1)) = {pag}^{2} (1 - pag) y PAG (X = (0 0, 1, 0 0)) = pag (1 - pag)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

PAG (T (X) = 2) = PAG (X = (1, 0 0, 1)) + PAG (X = (0 0, 1, 0 0)) = pag (1 - pag) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

Por lo tanto, que depende claramente de, y por lo tantono es una estadística suficiente.

\frac{PAG (X = (1, 0 0, 1))}{PAG (T (X) = 2)} = \frac{{pag}^{2} (1 - pag)}{pag (1 - pag)} = pag

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Landon Carter
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