En primer lugar, considere dos series de tiempo, y x 2 t, que ambas son I ( 1 ) , es decir, ambas series contienen una raíz unitaria. Si estas dos series cointegran, entonces existirán coeficientes, μ y β 2 , de manera que:
x1tx2tI(1)μβ2
x1t=μ+β2x2t+ut(1)
definirá un equilibrio. Para probar la cointegración utilizando el enfoque de 2 pasos de Engle-Granger, haríamos
1) Probar la serie, y x 2 t para las raíces de la unidad. Si ambos sonI ( 1 ) , continúe con el paso 2).x1tx2tI(1)
2) Ejecute la ecuación de regresión definida anteriormente y guarde los residuos. Defino un nuevo término “corrección de .u^t=ecm^t
3) Pruebe los residuos ( ) para una raíz unitaria. Tenga en cuenta que esta prueba es lo mismo que una prueba de no cointegración ya que bajo la hipótesis nula los residuos no son estacionarios. Sin embargo, si hay cointegración, los residuos deben ser estacionarios. Recuerde que la distribución para la prueba ADF basada en residuos no es la misma que las distribuciones DF habituales y dependerá de la cantidad de parámetros estimados en la regresión estática anterior ya que las variables adicionales en la regresión estática desplazarán las distribuciones DF a izquierda. Los valores críticos del 5% para un parámetro estimado en la regresión estática con una constante y tendencia son -3.34 y -3.78 respectivamente.
ecm^t
4) Si rechaza el nulo de una raíz unitaria en los residuos (nulo de no cointegración), entonces no puede rechazar que las dos variables cointegran.
5) Si desea configurar un modelo de corrección de errores e investigar la relación a largo plazo entre las dos series, le recomendaría que configure un modelo ADL o ECM, ya que hay un pequeño sesgo de muestra adjunto al Engle- Regresión estática de Granger y no podemos decir nada sobre la importancia de los parámetros estimados en la regresión estática, ya que la distribución depende de parámetros desconocidos. Para responder a sus preguntas: 1) Como se ve arriba, su método es correcto. Solo quería señalar que los valores críticos de las pruebas basadas en residuos no son los mismos que los valores críticos habituales de la prueba ADF.
(2) Si una de las series es estacionaria, es decir, y la otra es I ( 1 ) , no se pueden cointegrar ya que la cointegración implica que comparten tendencias estocásticas comunes y que una relación lineal entre ellas es estacionaria desde el estocástico las tendencias se cancelarán y producirán una relación estacionaria. Para ver esto, considere las dos ecuaciones:
I(0)I(1)
x1t=μ+β2x2t+ε1t(2)
Δx2t=ε2t(3)
Tenga en cuenta que , x 1 t ∼ I ( 1 ) , x 2 t ∼ I ( 1 ) , u t = β ′ x t ∼ I ( 0 ) , ε 1 t ∼ i . yo . d .ε2t∼i.i.d.x1t∼I(1)x2t∼I(1)ut=β′xt∼I(0)ε1t∼i.i.d.
Primero resolvemos la ecuación y obtenemos
(3)
x2t=x0+∑ti=0ε2i
Inserte esta solución en la ecuación para obtener:
(2)
x1t=μ+β2{x0+∑ti=0ε2i}+ε1tx1t=μ+β2x0+β2∑ti=0ε2i+ε1t
Vemos en las dos series compartir una tendencia estocástica común. Entonces podemos definir un vector de cointegración tal que:
β=(1−β2)′
ut=β′xt=(1−β2)(μ+β2x0+β2∑ti=0ε2i+ε1tx0+∑ti=0ε2i)
ut=β′xt=μ+β2x0+β2∑ti=0ε2i+ε1t−β2x0−β2∑ti=0ε2i
ut=β′xt=μ+ε1t
We see that by defining a correct cointegrating vector the two stochastic trends cancel and the relationship between them is stationary (ut=β′xt∼I(0)). If x1t was I(0) then the stochastic trend in x2t would not be deleted by defining a cointegrating relationship. So yes you need both your series to be I(1)!
(3) The last question. Yes OLS is valid to use on the two stochastic series since it can be shown that the OLS estimator for the static regression (Eq. (1)) will be super consistent (variance converges to zero at T−2) when both series are I(1) and when they cointegrate. So if you find cointegration and your series are I(1) your estimates will be super consistent. If you do not find cointegration then the static regression will not be consistent. For further readings see the seminal paper by Engle and Granger, 1987, Co-Integration, Error Correction: Representation, Estimation and Testing.