¿Por qué los precios de las acciones son lognormales?

Excepto por el hecho de que los rendimientos pueden ser negativos, mientras que los precios deben ser positivos, ¿hay alguna otra razón para modelar los precios de las acciones como una distribución normal de registro, pero modelar los retornos de las acciones como una distribución normal?

Algunos puntos para comenzar:

i) estas convenciones distributivas son, en el mejor de los casos, aproximaciones. Pueden ser modelos convenientes, pero no debemos confundir eso con la distribución real de los precios de las acciones o las devoluciones.

ii) los precios de las acciones suelen aumentar (pero en cualquier caso, tienen una media variable; la media no es estable). Entonces, cuando hablamos de la distribución de los precios de las acciones, generalmente no nos referimos a su distribución marginal, sino a una distribución condicional . Entonces, a menudo tendemos a significar algo más como es aproximadamente lognormal con un cambio medio con (específicamente, condicionalmente lognormal, condicional en algún valor anterior y tiempo transcurrido). La varianza también puede cambiar, en cuyo caso tanto la media como la condición de varianza en algún valor y tiempo anteriores. Entonces, por ejemplo, por "los precios de las acciones son aproximadamente lognormales" podríamos decir $y_t$$t$$y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$o equivalentemente$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii) Tenga en cuenta que para pequeño , .$x$$\log(1+x)\approx x$

Para retornos de períodos cortos, como los retornos diarios, generalmente, es bastante pequeño, generalmente del orden de 0.01, o a menudo menos, en valor absoluto$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Cuando esa proporción es pequeña,$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Es decir, el rendimiento es aproximadamente el cambio en el precio de las acciones de registro (pruébelo con precios de acciones reales y vea que son casi idénticos).

Así que si

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

lo que implica

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

luego

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$