¿Cuál es la diferencia entre la transformada wavelet de Gabor-Morlet y la transformada Q constante?

De un vistazo, la transformada de Q de Fourier constante y la transformada de onda compleja de Gabor-Morlet parecen iguales. Ambas son representaciones de frecuencia de tiempo, basadas en filtros Q constantes, sinusoides en ventana, etc. ¿Pero tal vez hay una diferencia que me falta?

Constant-Q Transform Toolbox for Music Processing dice:

CQT se refiere a una representación de frecuencia de tiempo donde los intervalos de frecuencia están separados geométricamente y los factores Q (relaciones de las frecuencias centrales a los anchos de banda) de todos los intervalos son iguales.

El análisis de escala de tiempo dice:

Es decir, calcular el CWT de una señal usando la onda Morlet es lo mismo que pasar la señal a través de una serie de filtros de paso de banda centrados en con una Q constante de . $f = \frac{5/2\pi}{a}$ $5/2\pi$

— endolito
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Respuestas:

Simplemente hablando, tanto la transformación const-Q como la transformación wavelet de Gabor-Morlet son solo transformaciones wavelet continuas. O, más precisamente, aproximaciones de los mismos, ya que siempre habrá problemas de discretización en aplicaciones reales.

Una propiedad de las transformaciones wavelet es que tienen una propiedad de factor Q constante, o en otras palabras, escalamiento logarítmico. Gabor y Morlet son solo dos nombres de una función wavelet particular (exponenciales complejos con una ventana gaussiana) que se usa con mayor frecuencia. La transformación CQ solo usa otra función base / wavelet y tiene un nombre especial adjunto, probablemente por alguna razón histórica.

— André Bergner
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Es importante tener en cuenta que las diversas wavelets que se han desarrollado ofrecen diferentes descomposiciones de las señales que se utilizan para estudiar. Se seleccionan wavelets específicas para revelar características de señal específicas de una manera particular. Cuando calcula los coeficientes wavelet, realiza una correlación de la wavelet elegida con la señal de interés; así, la forma de la wavelet determina la forma de las características de la señal que se revelan.

Algunas funciones wavelet se han "diseñado" para proporcionar descomposiciones que pueden relacionarse con las descomposiciones de Fourier (en realidad más en línea con las descomposiciones de Fourier a corto plazo utilizadas para producir espectrogramas de señales). La wavelet de Morlet es un buen ejemplo de dicha función wavelet. Se han "diseñado" otras wavelets para identificar discontinuidades o bordes de señales. He visto documentos que usan las funciones wevelet de Daubechies para esto.

Puede ser útil investigar un poco para ver cómo se utilizan en la práctica cada una de las funciones wavelet que ha mencionado. Creo que esto le dará una mejor comprensión de cómo difieren varias wavelets.

— usuario2718
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Sin embargo, la pregunta es específicamente sobre la wavelet de Morlet y cómo se relaciona con la transformación Q constante, que también es un tipo de descomposición de Fourier. ¿Hay alguna diferencia entre ellos o son reinvenciones de la misma cosa? También he encontrado el "algoritmo de punto fijo por octava (FPPO)" que "utiliza una ventana de tiempo de medición que varía en función de la frecuencia, utilizando una ventana de tiempo largo a bajas frecuencias (para resolución de frecuencia estrecha) y una sucesivamente más corta ventana de tiempo en altas frecuencias " rationalacoustics.com/files/FFT_Fundamentals.pdf

— endolith

Publiqué un comentario específico sobre la pregunta. Mi otra publicación tenía la intención de alentar al afiche a comprender cómo las transformaciones wavelet son únicas y por qué tiene sentido desarrollar transformaciones basadas en diferentes funciones wavelet.

— user2718

"¿Hay alguna diferencia entre ellos o son reinvenciones de la misma cosa?" Ellos son diferentes. La base de los métodos de Fourier se basa en funciones sinusales y no tiene una resolución de escala de tiempo. Las versiones en ventana de la transformación de Fourier se acercan a lo que se hace con wavelets. Las transformaciones Wavelet se basan en funciones básicas compatibles y la transformación es una representación de tiempo / escala en lugar de una representación de tiempo / frecuencia. Algunas funciones wavelet imitan los métodos de Fourier por diseño, pero esto no es un requisito.

— user2718

La transformación Q constante no es una transformación wavelet. La transformada Q constante es una variación particular en la transformada de Fourier a corto plazo en la que los intervalos de frecuencia están espaciados exponencialmente en lugar de espaciados linealmente, como es el caso de la transformada discreta de Fourier.

Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform para más detalles.

Algunas transformaciones wavelet también se consideran transformaciones Q constantes porque en las versiones discretas de las transformaciones, la escala de la wavelet varía exponencialmente (la base es 2 en este caso). De acuerdo con el siguiente documento de la Universidad de Stanford ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Cuando la wavelet madre se puede interpretar como una sinusoide en ventana (como la wavelet de Morlet), la transformada wavelet se puede interpretar como una transformada de Q Fourier constante. un banco de filtros clásico de tercera octava) no era fácil de invertir, porque las señales de base no eran ortogonales. Vea el Apéndice E para una discusión relacionada.

— usuario2718
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"La transformación Q constante no es una transformación wavelet". ¿Cómo es eso?

— endolito el

Este es probablemente un problema semántico, pero la "transformación Q constante" se desarrolló a partir de la transformación de Fourier a corto plazo, por lo que no se utiliza la función wavelet en el análisis. Es similar al análisis wavelet en que los intervalos de frecuencia están espaciados exponencialmente. Las transformadas Wavelet específicamente no tratan con la frecuencia. Las transformaciones Wavelet solo se ocupan de la escala. La combinación de la función de escala y wavelet puede relacionarse con la frecuencia, pero las dos cosas no son lo mismo.

— usuario2718

Por lo que he leído, la wavelet de Gabor-Morlet fue la primera transformación de wavelet continua, y se centró en la frecuencia, no en la escala, ya que se derivó de la transformación de Gabor, que es una transformada de Fourier en ventana. Ignorando las diferencias semánticas, ¿hay alguna diferencia en la forma en que se calculan el CQT y el Morlet WT?

— endolito el

¿No son matemáticamente equivalentes, suponiendo que la función de la ventana es la misma y que la wavelet está hecha de un exponencial complejo?

— endolito el

Creo que puede organizar una transformación de Fourier en ventana que sea equivalente a una transformación wavelet. Por lo general, en la aplicación de la transformación Q constante, la función de ventana no se elige para imponer las condiciones de admisibilidad requeridas de las wavelets, por lo que, en general, la transformación Q constante no es lo mismo que una transformación wavelet. Las condiciones de admisibilidad para las wavelets aseguran que el análisis sea reversible (es decir, puede reconstruir su señal de tiempo a partir de los resultados de la transformación), lo cual no es cierto en general para la transformación Q constante.

— usuario2718