¿Por qué parte real de FFT convierte la imagen en rotación + original?

He leído esta imagen:

tomó su FFT (2D) y luego FFT inversa para recuperar exactamente la imagen. El código se proporciona para referencia:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

Pero cuando cambio el fourier y tomo solo la parte real,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

Obtengo una imagen como esta ( tenga en cuenta que el cambio de tamaño es irrelevante y solo debido a guardarlo desde el controlador de figura de Matlab ):

¿Alguien puede explicarme la teoría (matemáticas) detrás de esto? Gracias

Digamos que tu imagen está dada por . Entonces su transformación de Fourier viene dada por I f ( ω x , ω y ) = ∫ x ∫ y I ( x , y ) e j ω x x e j ω y y d x d $I(x,y)$

$$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$$

Ahora tomas la parte real y realizas la inversa:

$$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$$

Puede ver claramente que la integral interna es la transformación 2D de Fourier de que es

$$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$$ $$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$$

Sustituyendo el resultado por obtiene $I_m$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$$

Por supuesto, en su caso , sin embargo, la transformada discreta de Fourier supone que su señal es -periódica y obtiene donde son las dimensiones de su imagen. Creo que ahora puedes ver por qué obtuviste ese resultado.$x,y>0$$N$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$$ $N,M$

$z$$(x,y)$$z^*$$(-x,-y)$Sobre el origen. Tenga en cuenta que el origen aquí sería el centro del espacio de Fourier. Esto puede reformularse, por supuesto, si el componente DC no está en el centro de su implementación de FFT. Y esto es lo que ves en tu imagen: una versión de punto reflejado está superponiendo la imagen verdadera, porque forzaste a un espacio a ser realmente valorado.

En realidad, esta propiedad se está utilizando para acelerar la resonancia magnética (MRI) en algunos casos: la MRI adquiere los datos directamente en el espacio de Fourier. Dado que una imagen de RM ideal puede describirse solo con valores reales (todos los vectores de magnetización excitados tienen fase 0), solo tiene que adquirir la mitad del espacio de datos, lo que le ahorra la mitad del tiempo de imagen. Por supuesto, las imágenes de resonancia magnética no están completamente valoradas debido a las limitaciones de la realidad ... pero con algunos trucos aún puede utilizar esta técnica de manera ventajosa.