Transformada de Fourier 4 veces = función original (del libro de Bracewell)

Estaba mirando "La transformación de Fourier y sus aplicaciones" de Ronald Bracewell, que es un buen libro de introducción sobre las transformadas de Fourier. En él, dice que si toma el FT de una función 4 veces, recupera la función original, es decir,

F (F (F (F (g (x))))) = g (x) .

$F\left( F\left( F\left( F\left( g(x) \right) \right) \right) \right) = g(x)\,.$

¿Alguien podría mostrarme cómo es posible? Supongo que la declaración anterior es para x complejo, y esto tiene algo que ver con , , , , ? $i^0=1$ $i^1=i$ $i^2=-1$ $i^3 = -i$ $i^4=1$

Gracias por tu iluminación.

fourier-transform transform fourier

— sambajetson
fuente

"Equivalente a la inversión de tiempo": esto me hizo pensar. Si tiene la transformada de Fourier de la función de onda de una partícula, ¿la transformación inversa de Fourier le daría la función de onda de la antipartícula?

— Bart Wisialowski el

Usaré la transformada de Fourier no unitaria (pero esto no es importante, es solo una preferencia):

\begin{matrix} (1) & X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- i ω t} d t \end{matrix}

$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & x (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (ω) e^{i ω t} d ω \end{matrix}

$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega\tag{2}$

donde (1) es la transformada de Fourier y (2) es la transformada inversa de Fourier.

Ahora, si tomas formalmente la transformada de Fourier de obtienes $X(\omega)$

\begin{matrix} (3) & F {X (ω)} = F^{2} {x (t)} = \int_{- \infty}^{\infty} X (ω) e^{- i ω t} d ω \end{matrix}

$\mathcal{F}\{X(\omega)\}=\mathcal{F}^2\{x(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\tag{3}$

Comparando (3) con (2) tenemos

\begin{matrix} (4) & F^{2} {x (t)} = 2 π x (- t) \end{matrix}

$\mathcal{F}^2\{x(t)\}=2\pi x(-t)\tag{4}$

Entonces, la transformada de Fourier es igual a una transformada inversa de Fourier con un cambio de signo de la variable independiente (aparte de un factor de escala debido al uso de la transformada de Fourier no unitaria).

Como la transformada de Fourier de es igual a , la transformada de Fourier de (4) es $x(-t)$ $X(-\omega)$

\begin{matrix} (5) & F^{3} {x (t)} = 2 π X (- ω) \end{matrix}

$\mathcal{F}^3\{x(t)\}=2\pi X(-\omega)\tag{5}$

Y, mediante un argumento similar al utilizado en (3) y (4), la transformada de Fourier de es igual a . Entonces obtenemos para la transformada de Fourier de (5) $X(-\omega)$ $2\pi x(t)$

\begin{matrix} (6) & F^{4} {x (t)} = 2 π F {X (- ω)} = (2 π)^{2} x (t) \end{matrix}

$\mathcal{F}^4\{x(t)\}=2\pi\mathcal{F}\{X(-\omega)\}=(2\pi)^2x(t)\tag{6}$

cual es el resultado deseado Tenga en cuenta que el factor en (6) es una consecuencia del uso de la transformada de Fourier no unitaria. Si usa la transformación de Fourier unitaria (donde tanto la transformación como su inversa obtienen un factor ) este factor desaparecería. $(2\pi)^2$ $1/\sqrt{2\pi}$

En resumen, aparte de factores constantes irrelevantes, obtienes

x (t) \overset{F}{⟹} X (ω) \overset{F}{⟹} x (- t) \overset{F}{⟹} X (- ω) \overset{F}{⟹} x (t)

$x(t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(-t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(-\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(t)$

— Matt L.
fuente

De hecho, sugiere una idea fantástica sobre cómo se puede diseñar un amplificador que convierta el cálculo en ganancia de amplitud: simplemente tome la transformada de Fourier no unitaria de 4 veces para amplificar la señal en un factor de aproximadamente 39 (o ganancia de 31 dB)!

(6)

$(6)$

x (t)

$x(t)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: ¿Cómo puedo haberme perdido eso? ¡Me pondría en contacto con un abogado de patentes antes de que alguien aquí robe esta brillante idea!

— Matt L.

El factor unitario debe ser

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\frac{1}{\sqrt {2 \pi}}$ , mal escrito en el último párrafo.

— mbaitoff

¡Demasiado tarde! Ya se ha otorgado una patente para un método aún mejor (usando FFT para reducir el cálculo total de

4 N^{2}

$4N^2$ a

4 N \log N

$4N\log N$ en lugar de la simple transformación de Fourier de vainilla).

— Dilip Sarwate

No he visto esta pregunta o respuesta antes. Yo diría que los "factores constantes" no son "irrelevantes" . por eso recomendaría la transformación de la unidad de Fourier.

— robert bristow-johnson