¿Cuándo podemos escribir el principio de incertidumbre de Heisenberg como igualdad?

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Sabemos que el Principio de incertidumbre de Heisenberg establece que

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Pero (en muchos casos para Morlet wavelet) he visto que cambiaron la desigualdad a una igualdad. Ahora mi pregunta es cuándo podemos cambiar la desigualdad a una igualdad:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Hombre eléctrico
fuente

parece muy interesante

— dato datuashvili

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como sé, es igual si la distribución gaussiana tiene una forma óptima, vea este libro El manual ilustrado de la transformada de wavelet: teoría introductoria y aplicaciones en ciencia, ingeniería, medicina y finanzas

— dato datuashvili

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el enlace está roto, ¿enviarías el libro por correo electrónico o enviarías otro enlace por favor? mi correo electrónico: <electricaltranslation@gmail.com> gracias @datodatuashvili

— Electricman

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Es importante definir los anchos de tiempo y frecuencia y de una señal antes de discutir cualquier forma especial del principio de incertidumbre. No existe una definición única de estas cantidades. Con las definiciones apropiadas se puede demostrar que solo la señal gaussiana satisface el principio de incertidumbre con igualdad. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

Considere una señal con transformada de Fourier satisfactoria $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (unit energy) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 (centered around t = 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 (centered around ω = 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Ninguna de estas condiciones es en realidad una restricción. Todos pueden satisfacerse (para señales con energía finita) mediante una escala, traducción y modulación apropiadas.

Si ahora definimos los anchos de tiempo y frecuencia de la siguiente manera

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

entonces el principio de incertidumbre establece que

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

$f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

donde la desigualdad se satisface con la igualdad para la señal gaussiana

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Los números de ecuación anteriores corresponden a la prueba a continuación, que proviene de Wavelets y Subband Coding de Vetterli y Kovacevic (p.80):

ingrese la descripción de la imagen aquí

— Matt L.
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gracias por las matemáticas, intentaré entenderlo. @ matt-l

— Electricista

@Matt L .: ¿Por qué define los anchos de tiempo y frecuencia con un factor de peso cuadrado? Vi en la escuela que las variaciones son ∆t y ∆w. Las variaciones de las distribuciones son con un factor de peso lineal? ¿Que es esto? Entonces, ¿esto significa que este principio de incertidumbre no habla sobre las variaciones de una función y la variación de su espectro, sino algo más?

— Martijn Courteaux

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

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f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

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No puedo darle toda la teoría detrás de esto (ya que literalmente llena libros), pero resulta que Heisenberg se convierte en una igualdad exacta para precisamente esta familia de señales:

s_{t_{0}, ω_{0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0}}{σ})}^{2} + i (ϕ + ω_{0} (t - t_{0}) + γ (t - t_{0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

donde todos los parámetros son números reales. Esta familia es generada por simectomorfismos cuadráticos en frecuencia de tiempo de un solo átomo de Gabor. Estos symplectomorphisms preservan la relación de incertidumbre de Heisenberg.

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

Sin embargo, la noción de área de frecuencia de tiempo puede generalizarse para medir el área de formas que no están alineadas con el eje de tiempo y frecuencia. Eso significa que, en lugar del producto de incertidumbre entre F y T, medimos el producto de incertidumbre mínimo de cualquiera de las dos variables conjugadas abarcadas por F y T. Le ahorraré los detalles, pero para esta definición del área de frecuencia de tiempo, la familia de señales proporciona usted el mínimo

— Jazzmaniac
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¿No son las funciones del fijlter de Gabuor? "

— Jean-Yves

Una razón por la que "llena libros" es que las muchas condiciones requeridas para la igualdad están definidas y limitadas con precisión (a menudo más allá de cualquier utilidad en cualquier otro contexto, como el mundo real).

— hotpaw2

El contexto original del principio de incertidumbre de Heisenberg fue la física, específicamente la mecánica cuántica, donde las variables conjugadas en cuestión son la posición y el momento. No se limita al análisis de tiempo / frecuencia.

— usuario2718

@BZ, estás predicando al coro aquí. Soy un físico cuántico matemático. Sin embargo, no veo el punto de tu comentario aquí o eso en tu propia respuesta.

— Jazzmaniac

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El principio de incertidumbre establece un límite teórico para la resolución, por lo que nunca se escribe como una igualdad.

Las relaciones de igualdad con las que se encuentra son para un contexto de análisis específico y la implementación de análisis. En este caso, el contexto es el análisis de señales, por lo que el tiempo / frecuencia son las variables conjugadas de interés, y la implementación es la wavelet específica en uso.

La relación de igualdad proporciona una forma de comparar resoluciones en diferentes implementaciones de análisis. Se debe tener cuidado al interpretar estas relaciones porque la definición de resolución no debería, pero puede variar.

Una relación de igualdad es apropiada una vez que ha definido dos cosas: 1) el significado matemático de la resolución. 2) el método de análisis (en este caso, elección de wavelet).

— usuario2718
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Si profundizas más, el principio de Heisenberg se convierte en mucho más que una declaración sobre la resolución. Está profundamente relacionado con la geometría de frecuencia de tiempo en una estructura matemática llamada geometría no conmutativa simpléctica. Ofrece una medida teórica de información para la información de frecuencia de tiempo y se cuantifica integralmente con precisión. Incluso puede usarlo para generalizar el teorema de Shannon para la reconstrucción de regiones TF arbitrarias.

— Jazzmaniac

En mecánica cuántica, el principio de incertidumbre es cualquiera de una variedad de desigualdades matemáticas que afirman un límite fundamental a la precisión con la que ciertos pares de propiedades físicas de una partícula conocidas como variables complementarias, como la posición x y el momento p, pueden conocerse simultáneamente. Por ejemplo, en 1927, Werner Heisenberg declaró que cuanto más precisamente se determina la posición de alguna partícula, menos precisamente se puede conocer su momento, y viceversa. [Wikipedia, pero aprendí esto en Física y lo visité nuevamente en las clases de análisis]

— user2718