¿Cuándo usar el DTFT frente al DFT (y sus inversas) en el análisis?

En muchas de mis lecturas, cada vez que algún autor habla de trabajar en el dominio de la frecuencia (transformación) (de una señal digital), a menudo toman el DFT o el DTFT (y, por supuesto, sus inversas correspondientes). Diferentes autores tenderán a trabajar con uno u otro.

No he podido determinar realmente un patrón particular con respecto a esto. En eso, ¿por qué elegirías el DTFT sobre el DFT o viceversa al explicar algoritmos? ¿Dónde te ayuda uno sobre el otro?

fft fourier-transform dft

— TheGrapeBeyond
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El DTFT se puede usar cuando las muestras no están espaciadas por igual en el tiempo, el DFT no.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Ahh buen punto.

— TheGrapeBeyond

Respuestas:

DFT y DTFT son obviamente similares, ya que ambos generan el espectro de Fourier de señales discretas en el tiempo. Sin embargo, mientras que la DTFT está definida para procesar una señal infinitamente larga (suma de infinito a infinito), la DFT está definida para procesar una señal periódica (la parte periódica es de longitud finita).

Sabemos que el número de intervalos de frecuencia en su espectro siempre es igual al número de muestras procesadas, por lo que esto también da una diferencia en los espectros que producen: el espectro DFT es discreto mientras que el espectro DTFT es continuo (pero ambos son periódicos con respecto a la frecuencia de Nyquist).

Dado que es imposible procesar un número infinito de muestras, el DTFT es menos importante para el procesamiento computacional real; existe principalmente para fines analíticos.

Sin embargo, el DFT, con su longitud de vector de entrada finita, es perfectamente adecuado para el procesamiento. Sin embargo, el hecho de que se supone que la señal de entrada es un extracto de una señal periódica no se tiene en cuenta la mayor parte del tiempo: cuando transforma un espectro DFT nuevamente en el dominio del tiempo, obtendrá la misma señal de la que calculó el espectro en El primer lugar.

Entonces, aunque no importa para los cálculos, debe tener en cuenta que lo que está viendo no es el espectro real de su señal . Es el espectro de una señal teórica que obtendría si repitiera periódicamente el vector de entrada.

Por lo tanto, supongo que en la literatura que mencionaba, cada vez que es importante que el espectro con el que está trabajando sea en realidad el espectro y, sin tener en cuenta el lado de la computación, el autor elegiría el DTFT.

— Nils Werner
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Entonces, si una señal nunca es realista de longitud infinita, ¿por qué analizar usando el DTFT y luego en muchos documentos que veo? ¿Hay algún tipo de facilidad o algo que viene con eso?

— TheGrapeBeyond

Más corrección matemática que facilidad. Es decir, al escribir una prueba matemática para señales no periódicas, no tiene más remedio que asumir que su señal es de longitud infinita porque así es como funciona la transformación de Fourier (tanto discreta como continua).

— Nils Werner

No estoy tratando de ser difícil, pero si siempre vas a suponer que tu señal es periódica y la DTFT es más matemáticamente correcta, entonces ¿por qué utilizar la DFT en el análisis? ¿Por qué usar uno sobre el otro es a lo que estoy tratando de llegar cuando analizo algoritmos?

— TheGrapeBeyond

Cuando quiera pensar en transformar señales limitadas en el tiempo, debe pensar que su señal infinita se multiplica con una "función de ventana", recortando efectivamente la parte que le interesa. El caso más fácil sería una función rectangular; sin embargo, esta función de ventana debe transformarse y luego convolucionarse también sobre la señal. Esto provoca manchas y el llamado efecto de fuga.

— Nils Werner

Cuándo usar el DFT en el análisis. Supongo que, desde el lado de las matemáticas, desea usar el DTFT porque no necesita tener en cuenta los artefactos y una vez que baja a la capa de software, cambia al DFT con todos los problemas que trae a la mesa.

— Nils Werner

El DTFT se usa cuando la matemática para probar algún punto es más fácil (ahorra en papel y / o tiza) cuando se supone un número infinito de muestras. Lo que significa que es realmente inútil en el mundo real (estarás muerto mucho antes de que encuentres suficientes muestras).

El DFT es cuando eliges un número finito útil de muestras para trabajar (dándote una matriz cuadrada de tamaño finito equivalente multiplicador exacto exacto), ya sea que sean periódicas o no (suponiendo que la periodicidad de la longitud del cuadro es otra ilusión en la mente de algunas personas para volver a hacer las matemáticas más manejables). Por lo tanto, el uso de un DFT generalmente implica una ventana (rectangular, si no otra cosa) que no es necesaria en el DTFT. Esta ventana viene con artefactos a veces desagradables, así como la pérdida obvia de información sobre la señal fuera de la ventana, que es una desventaja de la DFT.

— hotpaw2
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+1 pero ¿puedes explicar un poco sobre por qué la periodicidad implícita de DFT es una ilusión?

— Deve

La suposición es inconsistente con los datos reales fuera de la ventana DFT en muchos usos comunes (audio, etc.)

— hotpaw2

Te voté, pero ¿por qué dices que es una ilusión que el DFT asuma que los datos son periódicos? Si hago una pregunta, ¿puedes responderla?

— TheGrapeBeyond

Podría ser una buena pregunta para los sitios de intercambio de pila de matemáticas, uso del inglés, psicología o filosofía. Las funciones del operador antropomorfizante pueden ser un comportamiento humano interesante.

— hotpaw2

-2

$-\infty$ $+\infty$

— Ayushi
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