¿Es el principio máximo / mínimo de la ecuación de calor mantenido por la discretización de Crank-Nicolson?

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Estoy usando el esquema de diferencia finita de Crank-Nicolson para resolver una ecuación de calor 1D. Me pregunto si el principio máximo / mínimo de la ecuación de calor (es decir, que el máximo / mínimo ocurre en la condición inicial o en los límites) también es válido para la solución discretizada.

Esto probablemente está implícito en el hecho de que Crank-Nicolson es un esquema estable y convergente. Pero parece que podría probar esto directamente a través de un argumento de álgebra lineal utilizando las matrices creadas a partir de la plantilla de Crank-Nicolson.

Agradecería cualquier sugerencia a la literatura sobre esto. Gracias.

— foobarbaz
fuente

Hola foobarbaz, y bienvenido a scicomp! Supongo que el problema que está resolviendo no tiene términos fuente, ¿correcto?

— Paul

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El principio máximo para Crank-Nicolson se mantendrá si para el paso de tiempo y el espaciado de cuadrícula . En general, podemos considerar un esquema de la forma donde es la matriz laplaciana estándar y . Si , entonces el esquema es estable. (Esto se puede demostrar fácilmente con las técnicas de Fourier). Sin embargo, el criterio más fuerte de que es necesario para que el principio máximo se mantenga en general.

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Para una prueba, vea Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales de KW Morton . En particular, mire las Secciones 2.10 y 2.11 y el Teorema 2.2.

También hay una buena manera de ver que el principio máximo no se mantendrá en general para Crank-Nicolson sin una restricción en . $\mu$

Considere la ecuación de calor en con una discretización que contiene 3 puntos, incluido el límite. Supongamos que denota la discretización en el paso de tiempo y el punto de cuadrícula . Suponga el límite de Dirichlet, de modo que para todos los . Luego, Crank-Nicolson se reduce a que puede reducirse aún más a $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

Si consideramos la condición inicial de , entonces tenemos y aunque siempre será el en caso de que , tendremos que para impar a menos que . Por lo tanto, se viola el principio máximo / mínimo a menos que . Esto es particularmente notable a la luz del hecho de que Crank-Nicolson es estable para cualquier . $u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

En respuesta a la solicitud de foobarbaz, agregué un boceto de la prueba.

La clave es escribir el esquema en la forma

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

La hipótesis de que es exactamente equivalente al hecho de que todos los coeficientes anteriores no son negativos. $\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

Ahora suponga que el máximo se alcanza en un punto interior . Tenga en cuenta que todos , , , , son menores o iguales que por suposición. Si alguno de estos es estrictamente menor que , entonces la igualdad anterior y la no negatividad de los coeficientes implican que $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

Lo cual es una contradicción. Se deduce que el máximo también debe alcanzarse en todos los vecinos temporales y espaciales de , y un argumento de conexión implica que la discretización de debe ser constante en el espacio y el tiempo, de modo que el máximo todavía se alcanza en el límite. Tenga en cuenta que este argumento de conectividad refleja la prueba del principio máximo analítico (es decir, no discretizado). $u^{n+1}_j$ $u$

— Ben
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¡Gracias! ¿Conoces otra referencia además de Morton? No puedo acceder a esas Secciones o al Teorema en la vista previa del libro de Google. Me gustaría entender la prueba.

— foobarbaz

@foobarbaz No tengo otra referencia a mano, pero agregué un resumen de la prueba. Avísame si puedo aclararlo.

— Ben

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Estabilidad significa que una perturbación permanece limitada en el tiempo. No significa que el principio máximo se cumpla a nivel discreto, ese es un tema diferente. Satisfacer el principio máximo discreto es suficiente pero no necesario para la estabilidad.

— Chris
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