Alternativas al análisis de estabilidad von Neumann para métodos de diferencia finita

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Estoy trabajando en resolver las ecuaciones de poroelasticidad unidimensionales acopladas (modelo de biot), dadas como:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ en el dominio y con las condiciones de contorno:

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ en y en . $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

Discreté estas ecuaciones usando un esquema de diferencia finita centrada:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Actualmente estoy trabajando en los detalles de la convergencia del esquema analizando su consistencia y estabilidad. La parte de consistencia me parece bastante sencilla, pero ya preveo algunas dificultades con el análisis de estabilidad. En primer lugar, hay dos variables y dos ecuaciones. En segundo lugar, también hay un término derivado espaciotemporal mixto en la segunda ecuación. Estoy familiarizado con el análisis de estabilidad de von neumann y puedo ver que será muy difícil establecer la estabilidad con este método. ¿Hay alguna alternativa al análisis de von neumann que pueda usar?

— Paul
fuente

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Si no se siente cómodo haciendo el análisis con un sistema de ecuaciones, simplemente diferencie la primera ecuación con respecto a

y la segunda con respecto a

. Luego usa la igualdad de las derivadas parciales mixtas para eliminar

.

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— David Ketcheson

@DavidKetcheson: Interesante. En esencia, ¿está sugiriendo que podría reducir el sistema a una sola variable y realizar el análisis estándar de von Neumann en

sin ninguna pérdida de generalidad para

?

p

$p$

u

$u$

— Paul

Es el mismo problema, ya sea que lo escriba como un sistema o un PDE escalar.

— David Ketcheson

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Si sustituye, al menos para su análisis, por, puede escribir su sistema como $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$ donde todas las constantes se establecen en y donde el subíndice

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

refiere a la discretización del espacio tanto de las variables como de los operadores diferenciales. Su esquema se obtiene aproximando

_{h}

${}_h$

través de Euler implícito.

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Ahora la estructura diferencial-algebraica (DAE) es evidente. Para las variables hay ecuaciones diferenciales (en el tiempo) y algebraicas.

Si puede demostrar que es invertible, cf. esta preimpresión [p. 3] y la edición a continuación, que el DAE es de índice 1 o libre de extrañeza y se sabe que Euler es convergente, ver Teorema 5.12 en este libro . (Descargo de responsabilidad: este libro no está disponible gratuitamente y está escrito por mi supervisor de doctorado) $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Con este enfoque, tal vez evite el análisis de estabilidad.

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

APÉNDICE: Se dice que un DAE es el índice 1, si se puede transformar en un ODE sin diferenciar las ecuaciones.

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— ene
fuente

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

@Paul No encontré un teorema de referencia, por lo que insertaré los argumentos en mi respuesta ...

— enero

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No estoy familiarizado con las ecuaciones dadas aquí, pero recuerdo haber aprendido otro método para verificar la estabilidad de un esquema numérico en mi curso. Se conoce como análisis de ecuaciones modificadas.

Aquí hay una buena referencia para eso,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

En la referencia anterior, se establece la conexión entre la teoría de la estabilidad basada en el análisis de ecuaciones modificadas y el análisis de estabilidad de Von Neumann.

Después de un poco de búsqueda en línea, me encontré con las siguientes referencias,

Este artículo analiza el modelo de diferencias finitas de las ecuaciones poroelásticas de Biot a frecuencias sísmicas. Tiene una sección sobre la estabilidad del esquema numérico también.

Este artículo presenta una estrategia de solución para desacoplar el sistema acoplado y verificar la estabilidad del esquema numérico.

— Subodh
fuente

No he realizado el análisis de ecuaciones modificadas en las ecuaciones anteriores, pero como la pregunta pedía alternativas al análisis de Von Neumann, escribí la respuesta anterior. Es muy posible que no responda la pregunta. Pero alguien podría encontrar útiles las referencias enumeradas en su trabajo.

— Subodh

¡Gracias por la referencia! Puedo ver que la forma necesaria en su documento de Análisis de ecuaciones modificado no se ajusta a las ecuaciones que estoy usando, ¡pero es bastante interesante aprender nuevas técnicas de análisis!

— Paul