Utilidad de elementos con estabilidad dependiente de la malla.

Después de hacer algunas matemáticas relacionadas con la estabilidad de los elementos en el problema de 3D Stokes, me sorprendió un poco darme cuenta de que $P_2-P_1$ no es estable para una malla tetraédrica arbitraria. Más precisamente, en caso de que tenga un elemento donde todos los nodos y tres de las cuatro facetas se encuentren en el límite del dominio con una condición de Dirichlet, terminará obteniendo una matriz singular. De hecho, esto es bastante trivial para concluir de la forma débil del sistema de Stokes.

Probé el único código comercial de Stokes al que tengo acceso (COMSOL) y me permitió crear una malla de este tipo. Al hacer clic en resolver me sale 'Error: matriz singular' como se esperaba. (Tengo la impresión de que COMSOL usa para su módulo de flujo progresivo). $P_2-P_1$

Para probar aún más que el problema no estaba relacionado con otras configuraciones, probé la siguiente malla y todo funciona como se esperaba.

Preguntas: ¿Se tiene en cuenta este tipo de restricción en los generadores de malla (adaptativos o no adaptativos)? Veo en varios trabajos de investigación que este elemento parece ser bastante popular. ¿Este tipo de inestabilidades de límites generalmente se ignoran como insignificantes al elegir un método para usar? Más importante aún, ¿qué significa realmente tener un elemento finito estable , es decir, qué tipo de inestabilidades dependientes de la malla son demasiadas para concluir que el método es malo?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
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¡Interesante pregunta! Por lo que veo, estos elementos generalmente son el resultado de la generación de malla tetraédrica estructurada en cubos y tal, y juegan un papel menor en aplicaciones reales donde tiene algoritmos de nodalización no estructurados. Lo intenté hace un tiempo y no pude producir tal malla con un generador de malla que produce mallas completamente desestructuradas. Sospecho que emplean un mecanismo para evitar elementos tan limitados. Sin embargo, no tengo acceso a COMSOL, pero supongo que para la mayoría de los solucionadores estos elementos no representan un problema significativo.

— Christian Waluga

Me pregunto si esto también es un problema con el elemento MINI.

— Daniel Shapero

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

Los generadores de malla generalmente tienen una opción para manejar esto, por ejemplo, el generador bamgde malla 2D freefem++tiene una -splitpbedgeopción que agrega un nodo en el medio de cualquier borde que tiene ambos extremos en el límite. Según la bamgdocumentación, la generación de malla no estructurada puede devolver tales triángulos.

— Joce
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¿Está seguro de que este es el caso, por ejemplo, Taylor-Hood en Stokes 2D? Mi intuición me dice que el DOF relacionado con el borde salva la situación allí. En 3D Taylor-Hood, no hay DOF relacionado con la faceta y, por lo tanto, se produce la inestabilidad.

— knl

Tienes razón, puede ser el caso. Creo que la prueba de Verfuhrt de la condición inf-sup para Taylor-Hood es lo suficientemente constructiva como para comprobar esto, pero no hay tiempo justo ahora.

— Joce