Valor propio más pequeño sin inverso

Suponga que $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es una matriz simétrica definida positiva. $A$ es lo suficientemente grande como para resolver $Ax=b$ directamente.

¿Existe un algoritmo iterativo para encontrar el valor propio más pequeño de $A$ que no implique invertir $A$ en cada iteración?

Es decir, tendría que usar un algoritmo iterativo como gradientes conjugados para resolver $Ax=b$ , por lo que aplicar repetidamente $A^{-1}$ parece un costoso "bucle interno". Solo necesito un único vector propio.

¡Gracias!

— Justin Solomon
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¿Has intentado usar la descomposición de Cholesky? Tendría que factorizar

A

$A$ en

L L^{T}

$L L^T$ con

L

$L$ siendo una matriz triangular. Una vez que tenga la factorización (solo lo hace una vez), puede usarla en cada iteración para resolver el sistema muy rápido mediante sustitución hacia adelante y hacia atrás.

— Juan M. Bello-Rivas

¿Es A una matriz escasa?

— Tolga Birdal

A

$A$

Si está usando matlab u octava, use la eigsrutina. Es un método iterativo. Hay opciones para especificar qué valor propio desea, por ejemplo, el real más pequeño .

— sebastian_g

A

$A$

A

$A$

$\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
Encuentre su vector propio resolviendo . $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
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