Proyectando el espacio nulo de

Dado el sistema donde , leí que, en caso de que la iteración de Jacobi se use como solucionador, el método no convergerá si tiene un componente distinto de cero en el espacio nulo de . Entonces, ¿cómo podría uno declarar formalmente eso, siempre que tenga un componente distinto de cero que abarque el espacio nulo de , el método de Jacobi no es convergente? Me pregunto cómo podría formalizarse matemáticamente, ya que parte de la solución ortogonal al espacio nulo converge.

A x = b,

$Ax=b,$

A \in R^{n \times n}

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$

b

$b$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

Por lo tanto, al proyectar el espacio nulo de fuera de cada iteración, converge (o?). $A$

.........

Estoy particularmente interesado en el caso de donde es una matriz laplaciana simétrica con el espacio nulo atravesado por un vector , y tiene un componente cero en el espacio nulo de , donde

L x = b,

$Lx=b,$

L

$L$

1_{n} = [1 \dots 1]^{T} \in R^{n}

$1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^n$

b

$b$

L

$L$

J b = b,

$Jb=b,$

es la matriz de centrado. ¿Eso implica que cada iteración de Jacobi tendrá el espacio nulo de

proyectado, es decir, cada iteración estarácentrada? Pregunto esto desde entonces, no habría necesidad de proyectar el espacio nulo de

partir de iteraciones de Jacobi (o, en otras palabras,centrarlas iteraciones).

J = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{T}

$J=I-\frac{1}{n}1_n1_n^T$

L

$L$

L

$L$

— usero
fuente

Esta pregunta también puede ser relevante para usted: scicomp.stackexchange.com/questions/1505/…

— shuhalo

Gracias. Realmente hice un extracto de mis comentarios allí, ya que la pregunta merece atención por sí misma. Sin embargo, lo anterior no fue abordado (al menos no formalizado).

— usero

Oh, qué vergüenza, no comprobé que era tu propia pregunta.

— shuhalo

@JedBrown Su respuesta en scicomp.stackexchange.com/questions/1505/… inspiró esta pregunta. Creo que merece una consideración independiente. Supongo que podrás considerar las preguntas anteriores.

— usero

$A$ $A$ $A^T$ $A^Tu=0$ $Ax=b$ $u^Tb=u^TAx=0$ $b$ $A^T$

Pero si este es el caso, existe una solución, y en el caso cuadrado hay infinitos.

$A$ $A^T$ $A$

— Arnold Neumaier
fuente

b

$b$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A^{T}

$A^T$

A

$A$

A

$A$

b

$b$

A

$A$

A = I - B

$A=I-B$

x_{0} = b

$x_0=b$

x_{n + 1} = b + B x_{n}

$x_{n+1}=b+Bx_n$

A u = 0

$Au=0$

u^{T} b = 0

$u^Tb=0$

u^{T} B = u^{T}

$u^TB=u^T$

u^{T} x_{n}

$u^Tx_n$ es constante por inducción, por lo tanto cero. - Pero, ¿por qué te importa el método Jacobi? Es muy lento!

— Arnold Neumaier

B

$B$

A

$A$

d i a g (A) \neq c \cdot I

$diag(A)\neq c\cdot I$

c \in R

$c\in \mathbb{R}$