¿Cómo determinar si una solución numérica a un PDE está convergiendo a una solución continua?

El teorema de equivalencia de Lax establece que la consistencia y la estabilidad de un esquema numérico para un problema de valor inicial lineal es una condición necesaria y suficiente para la convergencia. Pero para problemas no lineales, los métodos numéricos pueden converger de manera muy plausible a resultados incorrectos, a pesar de ser consistentes y estables. Por ejemplo, este artículo muestra cómo un método de Godunov de primer orden aplicado a las ecuaciones de aguas poco profundas linealizadas 1D converge a una solución incorrecta.

Evidentemente, la autoconvergencia bajo refinamiento de malla y paso de tiempo no es suficiente, pero las soluciones exactas generalmente no están disponibles para PDE no lineales, entonces, ¿cómo se puede determinar si un método numérico está convergiendo en una solución genuina?

pde stability convergence

— Jed Brown
fuente

El denominado método de soluciones fabricadas pone a disposición soluciones exactas para todos los problemas. Es posible que no pueda generar el tipo de soluciones problemáticas que describe, pero no es el caso de que las soluciones exactas nunca estén disponibles.

— Bill Barth

Creo que esto es difícil aquí, ya que tendrías que adivinar una solución con el tipo de discontinuidad que no se aproxima bien por el método de solución.

— Matt Knepley

Estoy de acuerdo en que es probable que sea difícil fabricar soluciones que exciten los modos problemáticos que menciona Jed. Solo quería señalar que las soluciones exactas siempre están disponibles para las pruebas. No sé qué sucede si fabrica una solución para las ecuaciones de aguas poco profundas linealizadas 1D usando, por ejemplo, una combinación de funciones trigonométricas y exponenciales (típicas de soluciones exactas MoM), gire la manivela para obtener los términos fuente correspondientes y ejecute ellos a través de un esquema Godunov de primer orden. Quizás Jed pueda intentarlo e informar de nuevo.

— Bill Barth

MoM es una gran herramienta, pero en este caso, el problema es que la difusión se aplica mal dentro de una descarga. En cualquier otro lugar, la difusión que converge a cero en cada ecuación por igual es aceptable, pero la difusión no converge a cero dentro de un choque, por lo que aplicar la difusión numérica a cada término da como resultado una dinámica incorrecta. Escribiré una respuesta larga a esta pregunta cuando tenga tiempo, si nadie me gana.

— Jed Brown

@Jed, ¿no debería DEJARSE aplicar a las ecuaciones linealizadas?

— Matt Knepley

Respuestas:

Hay dos clases principales de soluciones que se discutirán a este respecto.

Soluciones suaves "suficientemente"

En el artículo clásico de Strang se muestra que el teorema de equivalencia de Lax (es decir, la idea de que la consistencia más la estabilidad implica convergencia) se extiende a las soluciones PDE no lineales si tienen un cierto número de derivadas continuas . Tenga en cuenta que ese documento se centra en problemas hiperbólicos, pero el resultado se traslada a problemas parabólicos. El número de derivados necesarios es un punto técnico, pero este enfoque generalmente es aplicable a soluciones que satisfacen el PDE en un sentido fuerte.

Soluciones discontinuas

En el otro extremo, tenemos "soluciones" PDE con discontinuidades , que generalmente surgen de leyes de conservación hiperbólicas no lineales . En esta situación, por supuesto, no se puede decir que la solución satisfaga el PDE en sentido estricto, ya que no es diferenciable en uno o más puntos. En cambio, debe introducirse una noción de solución débil , que esencialmente exige que la solución satisfaga una ley de conservación integral.

$L_p$ $L_\infty$

Si se puede demostrar que la secuencia converge en algo, y si el método es conservador, entonces el teorema de Lax-Wendroff garantiza que convergerá en una solución débil de la ley de conservación. Sin embargo, tales soluciones no son únicas . Determinar qué solución débil es "correcta" requiere información que no está contenida en la PDE hiperbólica. En general, las PDE hiperbólicas se obtienen descuidando los términos parabólicos en un modelo continuo, y la solución débil correcta puede depender exactamente de qué términos parabólicos se descartaron (este último punto es el foco del artículo vinculado en la pregunta anterior ).

Este es un tema rico e involucrado, y la teoría matemática está lejos de ser completa. La mayoría de las pruebas de convergencia son para problemas 1D y se basan en técnicas especializadas. Por lo tanto, casi todas las soluciones computacionales reales de las leyes de conservación hiperbólica en la práctica no pueden ser convergentes con las herramientas existentes. Para una discusión práctica desde un punto de vista computacional, vea el libro de LeVeque (capítulos 8, 12 y 15); para un tratamiento más riguroso y detallado sugeriría Dafermos .

— David Ketcheson
fuente

Tengo poco que aportar aquí aparte de señalar que siempre que los métodos numéricos tienen problemas con las ecuaciones hiperbólicas (y convergen a la solución incorrecta), generalmente no se debe a los choques. Por el contrario, las áreas con las que tienen dificultades son las ondas de rarefacción, donde la solución es suave.

{tu}_{t} + β \cdot \nabla F (tu) = sol

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (tu) = \frac{{tu}^{4 4}}{{tu}^{4 4} + (1 - tu)^{2} \cdot (1 - {tu}^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
fuente

Este es un punto excelente, aunque es ortogonal a la pregunta en sentido estricto. Abordas el problema de converger a la solución débil correcta , que en realidad es más problemático en la práctica que el problema de converger a alguna solución débil.

— David Ketcheson