¿Un pequeño determinante implica un mal acondicionamiento de una matriz?

Si tengo una matriz invertible cuadrada y tomo su determinante, y encuentro que , ¿implica esto que la matriz está mal condicionada? $\det(A) \approx 0$

¿Lo inverso también es cierto? ¿Una matriz mal acondicionada tiene un determinante casi cero?

Aquí hay algo que probé en Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— Encuesta
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El determinante muestra si una matriz es regular o singular. No muestra si está bien o mal condicionado.

— Allan P. Engsig-Karup

La magnitud del determinante no puede reflejar el mal condicionamiento: pero .

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$

— faleichik

¿Debería haber un

\approx

$\approx$ o

\neq

$\ne$ alguna parte?

— Investigación

Si está interesado en aprender más sobre los efectos de las matemáticas de punto flotante en los espectros de matriz, debe consultar el libro de Nick Trefethen: Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators y Pseudospectra Gateway .

— Aron Ahmadia

Respuestas:

Es la amplitud de la condición número $\kappa(\mathbf A)$ que mide la cercanía a la singularidad, no la pequeñez del determinante.

Por ejemplo, la matriz diagonal $10^{-50} \mathbf I$ tiene un determinante pequeño, pero está bien condicionada.

Por otro lado, considere la siguiente familia de matrices triangulares superiores cuadradas, debido a Alexander Ostrowski (y también estudiado por Jim Wilkinson):

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

El determinante de la matriz matrix es siempre , pero la relación del valor singular más grande al más pequeño (es decir, el número de condición de 2 normas ) es igual a , que se puede ver que aumenta para aumentar . $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
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@Nunoxic: ciertamente no; antes de comenzar con los detalles, ¿ya estás familiarizado con la descomposición de valores singulares?

— JM

Muy bien. Esto es todo lo que necesitas saber. La idea es que la información muy importante sobre el acondicionamiento se concentra en . En particular, querrá buscar los valores más grandes y más pequeños (recuerde que la descomposición se define de manera que las entradas diagonales de no sean negativas) en la diagonal de esa matriz. La relación de la entrada diagonal más grande a la más pequeña es el número de condición . El tamaño del número de condición con el que debe preocuparse depende de la máquina en la que esté trabajando ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

... pero en general, al resolver ecuaciones lineales con esa matriz, es probable que pierda base- dígitos en su solución. Esa es una regla general aproximada para el número de condición; así que si está trabajando con solo 16 dígitos, un de debería ser motivo de preocupación.

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

Sí, pero ese no es el método recomendado para determinar el número de condición (una explicación de lo cual es para otra pregunta). Supongo que sabes cómo invertir una matriz diagonal, ¿no?

— JM

"Regd. La pérdida de dígitos, ¿podría darme una referencia para esto?" - Podría, pero esta es realmente una de esas cosas que deberías experimentar por tu cuenta en un entorno informático para refuerzo.

— JM

Como , el determinante puede hacerse arbitrariamente grande o pequeño mediante un cambio de escala simple (que no cambia el número de condición). Especialmente en grandes dimensiones, incluso el escalado por un factor inocente de 2 cambia el determinante en una gran cantidad. $\det(kA)=k^n\det A$

Por lo tanto, nunca use el determinante para evaluar la condición o cercanía a la singularidad.

Por otro lado, para casi todos los problemas numéricos bien planteados, la condición está estrechamente relacionada con la distancia a la singularidad, en el sentido de la perturbación relativa más pequeña necesaria para hacer que el problema sea mal planteado. En particular, esto es válido para sistemas lineales.

— Arnold Neumaier
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