¿RRT * garantiza la optimización asintótica para una métrica de costo mínimo de autorización?

Se ha demostrado que el algoritmo de planificación de movimiento óptimo basado en muestreo (descrito en este documento ) produce rutas libres de colisión que convergen en la ruta óptima a medida que aumenta el tiempo de planificación. Sin embargo, hasta donde puedo ver, las pruebas de optimización y los experimentos han asumido que la métrica del costo de la ruta es la distancia euclidiana en el espacio de configuración. ¿Puede también producir propiedades de optimización para otras métricas de calidad de ruta, como maximizar la separación mínima de obstáculos en toda la ruta? $\text{RRT}^*$ $\text{RRT}^*$

Para definir el espacio libre mínimo: por simplicidad, podemos considerar un robot puntual moviéndose en el espacio euclidiano. Para cualquier configuración que esté en el espacio de configuración libre de colisión, defina una función que devuelva la distancia entre el robot y el obstáculo C más cercano. Para una ruta , el espacio libre mínimo es el valor mínimo de para todos los . En la planificación óptima del movimiento, uno podría desear maximizar el espacio libre mínimo de obstáculos a lo largo de un camino. Esto significaría definir alguna métrica de costo tal que $q$ $d(q)$ $\sigma$ $\text{min_clear}(\sigma)$ $d(q)$ $q \in \sigma$ $c(\sigma)$ $c$ aumenta a medida que disminuye el espacio libre mínimo. Una función simple sería $c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$ .

En el primer documento que presenta $\text{RRT}^*$ , se hacen varias suposiciones sobre la métrica del costo de la ruta para que se mantengan las pruebas; Uno de los supuestos se refería a la aditividad de la métrica de costos, que no se cumple para la métrica de autorización mínima anterior. Sin embargo, en el artículo más reciente de la revista que describe el algoritmo, varios de los supuestos anteriores no estaban en la lista, y parecía que la métrica del costo mínimo de autorización también podría ser optimizada por el algoritmo.

¿Alguien sabe si las pruebas de la optimización de pueden ser válidas para una métrica de costo de autorización mínima (quizás no la que proporcioné anteriormente, sino otra que tiene el mismo mínimo), o si se han realizado experimentos para ¿Soporta la utilidad del algoritmo para tal métrica? $\text{RRT}^*$

— giogadi
fuente

No estoy familiarizado con la métrica del costo mínimo de autorización, aunque por su nombre tengo la idea general. ¿Es una función específica o una clase de funciones?

— DaemonMaker

Buena pregunta: dado que la métrica varía según el robot, supongamos que estamos viendo un robot de punto holonómico que se mueve en el espacio euclidiano. En cualquier configuración q, tenemos una función d (q) que devuelve la distancia entre el robot puntual y el obstáculo C más cercano. Por lo tanto, para una ruta en el espacio de configuración, el espacio libre mínimo de toda la ruta es el valor mínimo de d (q) para todos los q en la ruta.

— giogadi

Meta-pregunta: ¿cuándo me recomiendan editar la pregunta original con aclaraciones que se han explicado en los comentarios y otras respuestas?

— giogadi

Esta es una buena meta-pregunta y obtendría más respuesta en el Robot SE meta . ;) Sin embargo, generalmente es bueno editar la pregunta para mayor claridad. Recomiendo especialmente hacerlo cuando las respuestas obtenidas no estén en línea con la pregunta prevista.

— DaemonMaker

Respuestas:

* Nota, es la concatenación de caminos y . Entonces definido como el espacio libre mínimo implica $a|b$ $a$ $b$ $c(\cdot)$ $c(a|b)=min(c(a),c(b))$

Usted hace referencia (en la referencia 1):

Teorema 11: (Aditividad de la función de costo.) Para todos , , la función de costo c satisface lo siguiente: $\sigma_1$ $\sigma_2$ $\in X_{free}$ $c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

Que se ha convertido (en la referencia 3, Problema 2):

Se supone que la función de costo es monotónica, en el sentido de que para todos $\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

Que todavía no es el caso para la distancia mínima de separación.

Actualización: Dada la restricción relajada en los costos de ruta, su exp sugerido (-min_clearance) parece estar bien.

— Josh Vander Hook
fuente

Su respuesta me hizo darme cuenta de que la métrica como la describí en realidad está mal planteada. Por lo general, queremos MAXIMIZAR el espacio libre mínimo sobre una ruta, por lo que, de hecho, el costo de una ruta debería AUMENTAR a medida que DISMINUYA el espacio libre mínimo de una ruta. La primera función de costo que tengo en mente para esto es c (sigma) = 1 / min_clearance (sigma), pero esto deja la función indefinida en los límites de obstáculos, y creo que RRT * requiere que Q_free esté cerrado para que las pruebas funcionen . Salvo el problema de los límites, esta nueva función de costo sería monótona como lo requiere la prueba.

— giogadi

Supongo que una función de costo simple que evita el problema del límite podría ser c (sigma) = -min_clearance (sigma), pero no estoy seguro de lo que podría tener una métrica negativa para otras partes de la prueba

— RRT

\geq

$\geq$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

δ

$\delta$

X_{f r e e}

$X_{free}$

Otra métrica posible: c (sigma) = exp (-min_clear (sigma))

— giogadi

Me gusta más la función de costo exponencial.

— Josh Vander Hook

En una respuesta anterior , llegamos a un acuerdo en que una función de costo definida como

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

satisfaría las propiedades requeridas para RRT * para producir una óptima asintótica bajo esta métrica.

Sin embargo, al revisar el artículo de IJRR que describe RRT *, esta función de costo no satisface técnicamente las suposiciones hechas en el artículo. Específicamente, esta función de costo viola la propiedad de límite , definida como:

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

$\text{TV}(\sigma)$

$\sigma_0$ $q$ $\sigma_0$ $c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

Me pregunto si RRT * simplemente no producirá soluciones asintóticamente óptimas bajo una función de costo, o si aún podría hacerlo, pero tal vez esas suposiciones simplificaron las pruebas de optimización en el documento.

— giogadi
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