Las funciones que escribieron cálculo lambda no pueden calcular

12

Solo quiero conocer algunos ejemplos de las funciones que pueden calcularse con el cálculo lambda sin tipo pero no con los cálculos lambda con tipo.

Como soy un principiante, agradecería cierta reiteración de la información de fondo.

Gracias.

Editar: por cálculos lambda mecanografiados, tenía la intención de saber sobre el Sistema F y el cálculo lambda simplemente mecanografiado. Por función, me refiero a cualquier función computable de Turing.

— Timothy Zacchari
fuente

Existen muchas disciplinas de escritura para los cálculos

, y la respuesta a su solicitud depende en parte de la elección de la disciplina de escritura que tenga en mente. También depende de lo que entiendas por función. Un ejemplo de una diferencia sería que las disciplinas de escritura como el Sistema F solo pueden escribir programas de normalización, mientras que el cálculo

tipo contiene términos no normalizadores.

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— Martin Berger

Estaba pensando en el Sistema F y en el cálculo simple de lambda mecanografiado. Por función, me refiero a la función computable de turing.

— Timothy Zacchari

15

Godelization da un buen ejemplo: en el cálculo lambda, lo único que puede hacer con una función es aplicarlo. Como resultado, no hay forma de escribir una función cerrada de tipo , que toma un argumento de función y le devuelve un código Godel. $(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N}$

Agregar esto como un axioma a la aritmética de Heyting generalmente se llama "la tesis constructiva de la Iglesia", y es un axioma fuertemente anticlásico. Es decir, es consistente agregarlo a HA, ¡pero no a la aritmética de Peano! (Básicamente, es un hecho clásico que cada máquina de Turing se detiene o no, y no hay una función computable que pueda presenciar este hecho).

— Neel Krishnaswami
fuente

No entiendo cómo esto es consistente con una teoría extensional: tome f y g igual de extensional, pero con diferentes implementaciones y, por lo tanto, diferentes códigos de godel. ¿Su función devuelve el mismo número para fyg?

— cody

3

¡No es consistente con la extensionalidad! Sin embargo, en HA

y

son conexiones lógicas, no funciones / registros. Por lo tanto, tienen que ser realizables, pero sus realizadores no tienen que ser extensionales. Andrej Bauer es un experto en estas cosas, por lo que si hace una pregunta, seguramente obtendrá una buena respuesta.

\forall

$\forall$

\exists

$\exists$

— Neel Krishnaswami

11

La respuesta más simple viene dada por el hecho de que los cálculos lambda mecanografiados corresponden a lógicas (simplemente cálculo lambda mecanografiado -> lógica predicada; sistema f -> lógica de segundo orden) y las lógicas consistentes no pueden probar su propia consistencia.

Entonces, digamos que tiene números naturales (o una codificación de números naturales de la Iglesia) en su cálculo lambda escrito. Es posible hacer una numeración de Gödel que asigna cada término en el Sistema F a un número natural único. Luego, hay una función que toma cualquier número natural (que corresponde a un término bien tipado en el Sistema F) a otro número natural (que corresponde a la forma normal de ese término bien tipado del Sistema F) y hace algo más para cualquier número natural que no corresponde a un término bien tipado en el Sistema F (por ejemplo, devuelve cero). La función es computable, por lo que puede ser calculada por el cálculo lambda sin tipo, pero no por el cálculo lambda con tipo (porque este último sería una prueba de la coherencia de la lógica de segundo orden en $f$ $f$ lógica de segundo orden, lo que implicaría que la lógica de segundo orden es inconsistente).

Advertencia 1: Si la lógica de segundo orden es inconsistente, podría ser posible escribir en el Sistema F ... y / o podría no ser posible escribir en el cálculo lambda sin tipo; podría escribir algo, pero podría no siempre termina, que es un criterio para "computable". $f$ $f$

Advertencia 2: a veces, por "cálculo lambda simplemente escrito", la gente quiere decir "cálculo lambda simplemente escrito con un operador de punto fijo o funciones recursivas". Esto sería más o menos PCF , que puede calcular cualquier función computable, al igual que el cálculo lambda sin tipo.

— Rob Simmons
fuente

10

El cálculo tipo posee recursividad general en forma de combinador El cálculo simple de no lo hace. Por lo tanto, cualquier función que requiera recursividad general es candidata, por ejemplo, la función de Ackermann. (Estoy omitiendo algunos detalles sobre cuán precisamente representamos los números naturales en cada sistema, pero esencialmente cualquier enfoque razonable servirá). $\lambda$ $Y$ $\lambda$

Por supuesto, siempre puedes extender el cálculo tipo simple para que coincida con el poder de , pero luego estás cambiando las reglas del juego. $\lambda$ $Y$

— Andrej Bauer
fuente

Por alguna razón, tenía en mi cabeza que podías hacer Ackermann en el Sistema F ...

— Rob Simmons

@Rob, según tengo entendido, Andrej no dice que ese no sea el caso.

— Kaveh

1

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

Oh, claro, solo estaba siendo tonta. (Debido a que la pregunta era bastante ambigua entre hablar sobre el Sistema F y hablar sobre STLC, elegí el sistema más fuerte y olvidé la pregunta más simple).

— Rob Simmons

λ

$\lambda$

λ m . m (λ f n . n f (f \underline{1})) s u c

$\lambda m.m(\lambda f n.n f(f \underline{1}))~\mathsf{suc}$

(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)

$(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)$

\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d

$\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d$

Y

$Y$

— Francisco Mota

6

$\mathtt{a}^*$

— Sam Tobin-Hochstadt
fuente

55

(p \to p) \to p \to p

$(p \to p) \to p \to p$

p

$p$

2

$\lambda$

@Marting: ¡Gracias! Ahora vivo en Alemania, así que este es un buen incentivo adicional para practicar mi alemán. :)

— Neel Krishnaswami

4

Una visión de los límites de los cálculos fuertemente normalizados que me gustan es el ángulo de computabilidad. En un cálculo tipado fuertemente normalizado, como el cálculo lambda de tipo simple, el Sistema F o el Cálculo de construcciones, tiene una prueba de que todos los términos terminan finalmente.

Si esta prueba es constructiva, obtienes un algoritmo fijo para evaluar todos los términos con un límite superior garantizado en el tiempo de cálculo. O también puede estudiar la prueba (no necesariamente constructiva) y extraer un límite superior, que probablemente sea enorme , porque esos cálculos son expresivos.

Este límite le ofrece ejemplos "naturales" de funciones que no se pueden escribir en este cálculo lambda fijo: todas las funciones aritméticas que son asintóticamente superiores a este límite.

Si no recuerdo mal, los términos escritos en el cálculo lambda de tipo simple se pueden evaluar en torres exponenciales O(2^(2^(...(2^n)..):; una función que crece más rápido que todas esas torres no será expresable en este cálculo. El sistema F corresponde a la lógica intuitiva de segundo orden, por lo que el poder de computación es simplemente enorme. Para aprovechar la fuerza de computabilidad de teorías aún más poderosas, generalmente razonamos en términos de teoría de conjuntos y teoría de modelos (por ejemplo, qué ordinales se pueden construir) en lugar de la teoría de computabilidad.

— gasche
fuente

0

$\Delta = \lambda x. x x$ $\Delta \Delta \to_\beta ~\Delta \Delta$ $\Delta$ $A$ $A = A \to A$

— Charles
fuente

λ

$\lambda$

A

$A$

A \equiv A \to A

$A\equiv A \to A$

Sí, tiene razón, pero pensé (tal vez me equivoque) que no era posible tener ese tipo en el cálculo lambda de tipo simple o en el Sistema F, que se están normalizando fuertemente.

— Charles el

Δ Δ

$\Delta\Delta$

Δ Δ

$\Delta\Delta$

@Kaveh ¿Por qué tener un tipo Atal que A \ident A \rightarrow Ano sea extraño? Me parece absurdo, ¿qué estoy pasando por alto?

— Martijn

Probablemente esté pensando clásicamente sobre conjuntos y espacios de funciones sobre ellos. Piense, por ejemplo, en cadenas binarias finitas y funciones computables sobre ellas.

— Kaveh