Cuerpo convexo con la norma mínima esperada l2

Considere un cuerpo convexo $K$ centrado en el origen y simétrico (es decir, si $x\in K$ entonces $-x\in K$ ). Deseo encontrar un cuerpo convexo diferente $L$ tal manera que $K\subseteq L$ y la siguiente medida se minimice:

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , donde $x$ es un punto elegido uniformemente al azar de L.

Estoy bien con la aproximación de factor constante a la medida.

Algunas notas: la primera suposición intuitiva de que $K$ es la respuesta es incorrecta. Por ejemplo, considere que $K$ es un cilindro delgado de muy alta dimensión. Entonces podemos obtener $L$ tal que $f(L)<f(K)$ dejando que $L$ tenga más volumen cerca del origen.

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— Ashwinkumar BV
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Para nada vale la pena, el problema parece difícil. Incluso en 3d no es obvio cómo resolverlo.

— Sariel Har-Peled

¿Es obvio cómo hacerlo en 2d de manera óptima? Por supuesto, en 2d una aproximación de factor constante no es interesante.

— Ashwinkumar BV

No es obvio para mí. La aproximación de factor constante es obvia en cualquier dimensión al aproximar la forma mediante un elipsoide www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf. La constante dependería de la dimensión.

— Sariel Har-Peled

Estoy más interesado en la aproximación de factor constante donde la constante no depende de la dimensión.

— Ashwinkumar BV

Naturalmente. Pero déjenme recuperarlo, incluso el caso de elipsoide no es obvio. Si desea atacar este problema, esa sería la primera versión para investigar. Intuitivamente, debe decidir qué dimensiones ignorar y qué dimensiones expandir. Parece que la solución natural es el casco convexo de la unión del elipsoide con otro elipsoide, donde los ejes del nuevo elipsoide son iguales a algún parámetro r, o son iguales al otro elipsoide.

— Sariel Har-Peled

Respuestas:

Si restringimos que y sean ambos elipsoides, entonces su problema puede resolverse con cualquier precisión con un SDP. Sé que esto no es lo que pediste originalmente, pero parece que no tenemos solución incluso para este caso restringido, y tal vez pueda ayudar en general. $K$ $L$

$E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ y . Se deduce que (y por lo tanto ) si y solo si es una matriz semidefinida positiva. $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

Entonces, el SDP se define por: dada una matriz de PSD simétrica , encuentre una matriz de PSD simétrica st es PSD y se minimiza. se puede encontrar resolviendo la SDP y luego una SVD dará los ejes y los ejes de longitudes de . $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— Sasho Nikolov
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(Como se menciona en los comentarios, el siguiente enfoque no funciona. El objeto obtenido no es convexo. Sin embargo, caracteriza un objeto "en forma de estrella" con la distancia mínima esperada).

Creo que el objeto óptimo sería una unión de y una bola centrada en el origen. Aquí están mis pensamientos. Según su definición de , donde es la distancia desde el origen hasta la superficie de en una dirección particular. Solía lugar de =, porque me cayó algunas constantes. Ahora queremos minimizar bajo las restricciones que $K$ $f(L)$

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$ largo de cualquier dirección. Tenga en cuenta que si largo de alguna dirección es menor que , entonces podemos hacerlo un poco más grande, digamos aumentarlo en , para hacer más pequeño. Esto se debe a que aumentamos el enumerador en , menos de un factor del aumento en el denominador. Por lo tanto, podemos pensar en "deformar" gradualmente (haciendo crecer repetidamente el objeto ligeramente y actualizando ) para que su valor sea más pequeño. Deje ser el objeto convexo al final. Entonces, cualquier punto en

r_{K}

$r_K$

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$ está a una distancia del origen, es decir, es la unión de y una bola con radio .

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

De hecho, considere otro objeto convexo tal que . Luego , ya que de lo contrario podemos hacer crecer la parte de dentro de para hacer que más pequeña. Por otro lado, , porque de lo contrario, por la misma idea, podemos reducir la parte de fuera de para hacer que más pequeña. Por lo tanto, hay una solución óptima única. $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ $g(K')$

— usuario7852
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Tal vez me falta algo, pero ¿por qué el objeto generado de esta manera es convexo?

— mjqxxxx

@mjqxxxx Tienes razón. ¿Cómo no se me olvida que ...

— user7852

Qué tal la siguiente idea: es bien sabido que un objeto convexo puede ser aproximado por algún elipsoide, es decir, hay un elipsoide tal que . Entonces aproxima a con una relación aproximada . Para cualquier contenga , . Entonces, si podemos encontrar el elipsoide óptimo que contiene , entonces . No sé cómo calcular . Pero supongo que sus ejes se alinean con los ejes de , y todos los valores propios de

E_{K}

$E_K$

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$ por debajo de algún umbral se elevan a ese umbral.

— user7852

Estoy de acuerdo en que si L no está restringido a un cuerpo convexo, es la unión de K y una bola.

— Ashwinkumar BV

La idea de usar elipsoide no te dará un factor constante. En el mejor de los casos, puede dar una aproximación . Mi conjetura es que el casco convexo de con una bola de radio apropiado es una aproximación de factor constante. No estoy seguro de cómo probar o refutar la conjetura.

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

— Ashwinkumar BV

La siguiente solución se basa en esta suposición / conjetura [por demostrar]:

Conjetura : La expectativa de una función convexa en es menor que la mayor entre la expectativa en y la expectativa en . $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[Necesitaremos lo anterior solo para convexo, pero podría ser cierto en general] $K,K'$

Tome ahora cualquier conjunto y aplique una rotación centrada en el origen, obteniendo . Vas a tener , porque la rotación deja invariante la longitud de los elementos deSi tengo razón sobre la conjetura, . Dado que para cualquier óptimo , podría considerar , donde indica la unión sobre todas las rotaciones, y tiene , parece que la óptima se puede elegir para ser la esfera más pequeña que contiene $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$ .

— Marco
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Sería suficiente demostrar que para la expectativa de una función convexa. Eso parece fácil.

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$

— Marco

No estoy completamente seguro de obtener su respuesta. Pero definitivamente no es cierto que L pueda elegirse como la esfera más pequeña que contiene K. Considere un cilindro largo y delgado en dimensiones de longitud . Entonces cualquier esfera contenga debería tener . Pero si construyes donde U es una esfera o radio aproximadamente obtienes aproximadamente . (donde son constantes)

d

$d$

t

$t$

S

$S$

K

$K$

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$

c_{1} t / d

$c_1 t/d$

f (L)

$f(L)$

c_{2} t / d

$c_2 t/d$

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$

— Ashwinkumar BV