Algoritmos de aproximación de tiempo superpolinomial para MAX 3SAT

El teorema de PCP que no hay algoritmo de tiempo polinómico para MAX 3SAT para encontrar una asignación satisfacer cláusulas de una fórmula 3SAT satisfiable a menos que P = N P .$7/8+ \epsilon$$P = NP$

Existe un algoritmo de tiempo polinomial que satisface trivial de las cláusulas. Así que, ¿Podemos hacer algo mejor que 7 / 8 + ε si permitimos que los algoritmos de super-polinómicas? ¿Qué proporciones de aproximación podemos lograr con algoritmos de tiempo cuasi-polinomiales ( n O ( log n ) ) o con algoritmos de tiempo sub-exponenciales ( 2 o ( n ) )? Estoy buscando referencias a cualquiera de estos algoritmos.$7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

Uno puede obtener un aproximación para MAX3SAT que se ejecuta en 2 O ( ε n ) tiempo sin demasiados problemas. Aquí está la idea. Divida el conjunto de variables en O ( 1 / ε ) grupos de ε n variables cada uno. Para cada grupo, intente las 2 ε n formas de asignar las variables en el grupo. Para cada fórmula reducida, ejecute el Karloff y Zwick 7 / 8 : Aproximación. Salida de la asignación que satisface un número máximo de cláusulas, de todas estas pruebas.$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

El punto es que hay un bloque variable tal que la asignación óptima (restringida a ese bloque) ya satisface una fracción del número máximo de cláusulas satisfechas. Usted obtendrá las cláusulas adicionales exactamente correcto, y obtendrá 7 / 8 del la fracción restante del óptimo uso de Karloff y Zwick.$\varepsilon$$7/8$

Es una pregunta interesante si se puede obtener para el mismo tipo de aproximación. Existe una "Conjetura PCP lineal" de que 3SAT se puede reducir en tiempo polinómico a MAX3SAT, de modo que:$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• si la instancia de 3SAT es satisfactoria, entonces la instancia de MAX3SAT es completamente satisfactoria,
• $7/8+\varepsilon$
• $poly(1/\varepsilon)$

$2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

Para reafirmar de alguna manera lo que Ryan Williams escribió en su último párrafo:

$T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$$(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$$T(n)$$2^{o(n)}$$7/8$