¿Existe un tipo de resultado de amplificación de brecha para el problema de isomorfismo gráfico?

Suponga que y son dos gráficos no dirigidos en el conjunto de vértices . Los gráficos son isomórficos si y solo si hay una permutación tal que , o más formalmente, si hay una permutación tal que es una ventaja en si y solo if es una ventaja en . El problema del isomorfismo gráfico es el problema de decidir si dos gráficos dados son isomorfos. $G_1$ $G_2$ $\{1, \dotsc, n\}$ $\Pi$ $G_1 = \Pi(G_2)$ $\Pi$ $(i,j)$ $G_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G_2$

¿Existe una operación en gráficos que produzca "amplificación de huecos" al estilo de la prueba de Dinur del teorema de PCP ? En otras palabras, ¿hay una transformación computable de tiempo polinómico de a tal manera que $(G_1,G_2)$ $(G'_1,G'_2)$

si y son isomorfos, entonces y también son isomorfos, y $G_1$ $G_2$ $G'_1$ $G'_2$
si y no son isomórficos, entonces para cada permutación , el gráfico es " -far" de para alguna pequeña constante , donde -far significa que si elegimos de manera uniforme al azar, a continuación, con una probabilidad cualquiera
- $(i,j)$ es un borde de y no es un borde de , o $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$
- $(i,j)$ no es un borde de y es un borde de . $G'_1$ $(\Pi(i),\Pi(j))$ $G'_2$

cc.complexity-theory graph-isomorphism pcp

— Andre Chailloux
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@domotorp: “Transformación de tiempo polinomial” es una terminología estándar para referirse a una máquina de Turing de tiempo polinomial determinista cuya entrada y salida son ambas cadenas. En este caso, esta máquina de Turing toma el par (G1, G2) como entrada y produce el par (G′1, G′2) como salida. Cada gráfico está codificado como una matriz adyacente, por ejemplo.

— Tsuyoshi Ito

Pensé que el teorema de PCP era válido para cualquier problema de NP, por lo que en particular debería ser válido para el isomorfismo gráfico.

— Denis

@dkuper El autor quiere preguntar si hay una reducción que amplifique la brecha que reduce las instancias de isomorfismo gráfico a instancias de isomorfismo gráfico con una brecha mayor; no está preguntando sobre el teorema de PCP directamente, solo sobre una técnica utilizada para demostrar la dureza de la aproximación ...

— argentpepper

Probablemente sea una posibilidad remota, pero ¿podría mostrar que si este fuera el caso, entonces podría resolver el isomorfismo gráfico en el tiempo polinómico cuántico?

— Neal Young el

Es coherente con el estado actual de conocimiento que incluso SAT tiene un algoritmo de tiempo lineal, por lo que lo que ha escrito parece poco probable que se sepa. Si es así, agregue una referencia a su respuesta.

— Kaveh

No sé si tal cosa podría existir o no. Pero es interesante (y tal vez oportuno) notar que tal "amplificación de brecha" probablemente implicaría un algoritmo de tiempo cuasipolinomial para isomorfismo gráfico (diferente al recientemente anunciado)

En este documento , se proporciona un algoritmo de aproximación para el problema "MAX-PGI" de maximizar pares coincidentes de bordes / no bordes; si reducimos de GI a "Gap-MAX-PGI", entonces podemos aproximarnos para distinguir de qué lado de la brecha nos encontramos.

Por lo tanto, creo que es poco probable que la prueba de Dinur del teorema de PCP sea directamente generalizable a tal "amplificador de brecha", dados los obstáculos que tendrían que ser superados.

— Joe Bebel
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