Usos de XORification

XORification es la técnica para hacer que una función o fórmula booleana sea más difícil al reemplazar cada variable por el XOR de k ≥ 2 variables distintas x 1 ⊕ ... ⊕ x k . $x$$k\geq 2$$x_1 \oplus \ldots \oplus x_k$

Soy consciente de los usos de esta técnica en la complejidad de la prueba, principalmente para obtener límites de espacio más bajos para sistemas de prueba basados ​​en resolución, por ejemplo, en los documentos:

• Eli Ben-Sasson. Tamaño de las compensaciones de espacio para la resolución. STOC 2002, 457-464.
• Eli Ben-Sasson y Jakob Nordström. Comprender el espacio en la complejidad de la prueba: separaciones y compensaciones mediante sustituciones. ICS 2011, 401-416.

¿Hay otros usos de esta técnica en otras áreas?

Aquí hay un ejemplo algo relevante que estamos cubriendo actualmente en mi clase.

La "función de acceso al almacenamiento" se define en bits como:$2^k+k$

$SA(x_1,...,x_{2^k}, a_1,...,a_k) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

donde es el entero único en { 1 , ... , 2 k } correspondiente a la cadena a 1 ⋯ a k .$bin(a_1 \cdots a_k)$$\{1,\ldots,2^k\}$$a_1 \cdots a_k$

tiene fórmulas de tamaño sobre O ( k ⋅ 2 k ) más de Y / O / NO: tener 2 k grupos de todos los posibles k -ANDs más de los unos i las variables, de modo que exactamente un salidas de grupo 1 en cada entrada. Luego Y cada bit x i con la salida del grupo correspondiente, luego O todas estas salidas.$SA$$O(k \cdot 2^k)$$2^k$$k$$a_i$$1$$x_i$

Sin embargo, la siguiente función "SA de XOR", en entradas de , requiere aproximadamente 2 fórmulas de tamaño 3 k sobre AND / OR / NOT:$2^{k+1}$$2^{3k}$

.$SA(x_1,...,x_{2^k}, \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{1,j},..., \bigoplus_{j=1}^{2^k/k} a_{k,j}) = x_{bin(a_1 \cdots a_k)}$

Esto a menudo se llama "función de Andreev" en la literatura. Hastad demostró (mejorando un componente del argumento de Andreev) que las fórmulas de tamaño cúbico son esencialmente necesarias. (No es difícil encontrar fórmulas de tamaño casi cúbico también).

$X$$Y = X_1 \oplus X_2 \oplus \cdots \oplus X_k$$k$$X_i$$X$

Hoy en día, esta técnica es bastante estándar en criptografía, típicamente para amplificar una construcción débil (esquema de compromiso, protocolo de transferencia ajeno, etc.) en una fuerte.