¿Resolver sistemas de ecuaciones módulo en para compuesto?

Estoy interesado en la complejidad de resolver ecuaciones lineales módulo k , para k arbitrario (y con un interés especial en las potencias primarias), específicamente:

Problema. Para un sistema dado de ecuaciones lineales en incógnitas módulo , ¿existe alguna solución?n $m$$n$$k$

En el resumen de su artículo Estructura e importancia de las clases MOD de espacio de registro en las clases Mod _k L , Buntrock, Damm, Hertrampf y Meinel afirman que " demuestran su importancia al demostrar que todos los problemas estándar de álgebra lineal sobre los anillos finitos están completos para estas clases$\mathbb Z/k\mathbb Z$ ". En una inspección más cercana, la historia es más complicada. Por ejemplo, Buntrock et al. demuestre (mediante un boceto de prueba en un borrador anterior y de libre acceso encontrado por Kaveh, ¡gracias!) que la solución de sistemas de ecuaciones lineales se encuentra en su lugar en la clase complementaria coMod _k L , para kprincipal. No se sabe que esta clase sea igual a Mod _k L para k compuesto, pero no importa eso, lo que me preocupa es el hecho de que no hacen ningún comentario sobre si la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mod k está contenida en coMod _k L para k compuesto!

Pregunta: ¿La solución de sistemas de ecuaciones lineales módulo k está contenida en coMod _k L para todos los k positivos?

Si puede resolver sistemas de ecuaciones de módulo de mayor potencia q de un primo p , también puede resolverlos módulo p ; entonces resolver sistemas de ecuaciones módulo q es coMod _p L -hard. Si pudieras demostrar que este problema está en Mod _q L , terminarías mostrando Mod _k L  =  coMod _k L para todos los k . Es probable que sea difícil de probar. ¿Pero está en coMod _k L ?

Me complace decir que creo que podemos responder afirmativamente a esta pregunta: es decir, decidir si una congruencia lineal es factible módulo k es coMod _k L -completo.

De hecho, podemos reducir este problema al caso especial de las potencias principales. Uno puede mostrar que:

Forma normal La clase coMod _k L consta de idiomas L de la forma L  =  L _{p 1}  ∩  L _{p 2}  ∩ ... ∩  L _{p r}  , donde L _{p j}  ∈  coMod _{p j}  L y donde p _{j se} extiende sobre los factores primos de k .

Según el Teorema restante, cualquier solución a un sistema de ecuaciones módulo a cada una de las potencias primarias dividiendo k da lugar a una solución para el mismo sistema, mod k . Así que si la resolución de sistemas de ecuaciones lineales sobre está contenida en Comod _{p j}  L , se deduce que los sistemas de resolución de ecuaciones mod k figura en Comod _k L . p t j$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$

Hay un algoritmo estándar, descrito por McKenzie y Cook para reducir las congruencias lineales módulo de una potencia principal para construir un conjunto de expansión para su espacio nulo (es decir, para A x  =  y sobre un anillo dado, construir una base para el espacio nulo de [  A  |  y  ] y vea si existen soluciones con un coeficiente final de −1); y posteriormente para reducir la construcción de poderes primos de módulo de espacios nulos para construir primos de módulo de espacios nulos, y potencias de módulo de multiplicación de matriz. Ambas tareas son problemas que son factibles para coMod _k L , siempre que pueda construir las matrices involucradas.

Resulta que las matrices involucradas en la reducción de McKenzie y Cook pueden calcularse por multiplicación matricial y (crucialmente) por un factor constante. Afortunadamente, para las potencias principales, los coeficientes de las matrices involucradas pueden calcularse en la cinta de trabajo utilizando un oráculo para máquinas CoMod _p L ; y la división por una constante se puede realizar en NC ¹ , que es de nuevo posible en Comod _p L . Así que resulta que todo el problema es en última instancia factible en Comod _k L .

Para detalles completos, ver [ arxiv: 1202.3949 ].