También creo que se ha hecho una pregunta muy similar antes, primero pienso aquí: /mathpro/27967/decidability-of-chess-on-an-infinite-board/63684
Aquí está mi actualización y Opinión modificada.
Creo que el problema no se resuelve por completo, pero la respuesta es casi segura que sí. No tengo una prueba para el ajedrez, ya que me falta la capacidad de diseñar ciertas configuraciones, pero creo que deben existir. E incluso si no lo hacen, para un juego similar al ajedrez, ciertamente lo hacen, lo que demuestra que los intentos de demostrar la capacidad de decisión deberían ser incorrectos. Más tarde me di cuenta de que hay un argumento muy similar al mío aquí: http://www.redhotpawn.com/board/showthread.php?threadid=90513&page=1#post_1708006, pero mi prueba muestra que, de hecho, dos contadores son suficientes y tal vez La mía es más detallada.
La reducción se basa en la noción de una máquina apiladora. Una máquina de pila con solo dos pilas que usa un alfabeto de pila de solo una letra puede simular cualquier máquina de Turing. (Algunas personas llamarían a este autómata finito determinista con dos contadores). Entonces, nuestro objetivo sería simular cualquier máquina con una posición de ajedrez. Puedo ver dos formas para esto.
i, Construya dos configuraciones separadas, de modo que ambas tengan una parte inicial y una parte móvil que pueda cambiar (para almacenar el estado). Además, las partes móviles estarían conectadas, por ejemplo. por torres, lo que podría hacer jaque mate, si se libera, por eso si uno declara movimientos 1, el otro tiene que mover k, y así sucesivamente.
ii, Construya una configuración única, que dependiendo de su estado, se mueva l horizontalmente y -k verticalmente. Además, coloque una torre en (0,0) que nunca se movería pero podría garantizar que la configuración pueda "detectar" cuando vuelva a un contador vacío.
Entonces, todo lo que queda por hacer es diseñar tales configuraciones, lo que supongo que debería ser posible con un poco de esfuerzo y conocimiento del ajedrez. Además, tenga en cuenta que en ambos casos la construcción utiliza una pieza cuyo rango no está limitado, me pregunto si esto es realmente necesario. Como primer paso, propuse dar una posición equivalente a la conjetura de Collatz:
/mathpro/64966/is-there-a-chess-position-equivalent-to-the-collatz-conjecture