Multiplicación de matrices circulantes con una matriz diagonal.

Sea , B i una secuencia de matrices circulantes de tamaño n × n .$A_{i}$$B_{i}$$n \times n$

Sabemos que se puede calcular en el tiempo cuadrática (uso FFT diagonalizar y añadir las matrices diagonales y aplicar IFFT).$\sum_{i=1}^{n}A_{i}B_{i}$

Suponiendo es una matriz diagonal arbitraria (por simplicidad, deje que r sea n º raíz de la unidad y tenga en cuenta los elementos de la diagonal como todas las potencias distintas de menos de n de r ).$D$$r$$n$$n$$r$

¿Cuál es la complejidad de ? Sospecho que es cuadrático ya que estoy incluyendo la misma matriz diagonal ( términos O ( n ) ) en cada término.$\sum_{i=1}^{n}A_{i}DB_{i}$$O(n)$

Considere una matriz circulante de tamaño n × n con la primera fila hecha de distintas potencias menores que n de r . Sea X i e Y i para i = 1 → n ser matrices diagonales de rango completo.$R$$n \times n$$n$$r$$X_{i}$$Y_{i}$$i=1\rightarrow n$

¿Cuál es la complejidad de ? Nuevamente sospecho que esto es cuadrático.$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$

Las matrices y R que se definen con respecto a r son artificiales. Busco el caso de la diagonal en general D y general de rango completo circulante R .$D$$R$$r$$D$ $R$

$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$$X_i$$Y_i$$A$$X_i$$i$$B$$Y_i$$i$$AB$$R$$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$$R$$AB$$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$

$\sum_{i=1}^{n}A_{i}DB_{i}$$A_i$$B_i$$A_i$$B_i$$D$$\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i}$$2n+1$$n$$n^2\log n$
$D$$D$$r^i$$r$$n$$D$$D$