Dado un gráfico, decida si su conectividad de borde es al menos n / 2 o no

El Capítulo 1 del libro El Método Probabilístico, de Alon y Spencer, menciona el siguiente problema:

Dado un gráfico $G$ , decida si su conectividad de borde es al menos $n/2$ o no.

El autor menciona la existencia de un $O(n^3)$ algoritmo por Matula y mejora a $O(n^{8/3}\log n)$ .

Mi pregunta es, ¿cuál es el tiempo de ejecución más conocido para este problema?

Permítanme describir el algoritmo mejorado.

Primero, decida si $G$ tiene su grado mínimo al menos $n/2$ o no. Si no, entonces la conectividad de borde es claramente menor que $n/2$ .

A continuación, si ese no es el caso, calcule un conjunto dominante $U$ de $G$ de tamaño $O(\log n)$ . Esto se puede hacer en el tiempo $O(n^2)$ , mediante un algoritmo descrito en la sección anterior del libro.

A continuación, utiliza el siguiente hecho no muy difícil de probar:

Si el grado mínimo es $\delta$ , entonces para cualquier corte de tamaño de borde como máximo $\delta$ que divida $V$ en $V_1$ y $V_2$ , cualquier conjunto dominante de $G$ debe tener sus vértices en $V_1$ y $V_2$ .

Ahora considere el conjunto dominante . Desde tiene grado mínimo , cualquier corte de borde de tamaño inferior a también debe separar . Por lo tanto, para cada , encontramos el tamaño del corte de borde más pequeño que separa y . Cada una de estas cosas se pueden hacer en el tiempo $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ utilizando un algoritmo de flujo máximo. Así, el tiempo total necesario es . $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— Vinayak Pathak
fuente

Por cierto, una mejora en el algoritmo de flujo máximo también conducirá a una mejora aquí. Pero supongo

es el mejor algoritmo de flujo máximo conocido actualmente?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— Vinayak Pathak

Tal vez estoy malinterpretando algo, pero ¿el algoritmo de mincut aleatorio de Karger-Stein no tiene tiempo de ejecución

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

¿Es

el tiempo de ejecución esperado? El algoritmo que he descrito es completamente determinista.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Vinayak Pathak

El algoritmo es Monte Carlo: siempre se completa en el tiempo

y genera el corte mínimo con alta probabilidad. La probabilidad de falla depende inversamente del tiempo de ejecución, por supuesto. Lo siento, dado que su cita es Alon-Spencer, simplemente asumí que el algoritmo es aleatorio :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— Sasho Nikolov

Si está buscando un algoritmo determinista, creo que debería especificarlo en la pregunta. No conozco un algoritmo determinista mejor que

para corte mínimo (vea Stoer-Wagner para un algoritmo fácil que logra este tiempo de ejecución). Es interesante cuánto mejor podemos hacer determinísticamente para el problema que especifique (8/3 en el exponente parece poco natural para un mejor límite, pero quién sabe).

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— Sasho Nikolov

Puede verificar esto fácilmente en tiempo lineal, ya que un gráfico tiene conectividad de borde al menos si y solo si su grado mínimo es al menos . Usted ya abogó por la parte "solo si". Considere ahora un gráfico donde cada vértice tiene un grado de al menos y un corte que divide el gráfico en dos conjuntos de vértices y con . Un vértice en puede tener como máximo conexiones a otros vértices en $n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ , y por lo tanto debe contribuir al menos bordes al corte. Por lo tanto, el corte debe tener un tamaño de al menos . Queda por demostrar que , lo cual es cierto ya que $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ . $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

Curiosamente, la única referencia que encuentro a este resultado es esta de una conferencia de la bioinformática. Sería realmente curioso ver si se ha probado en otro lugar.

Editar: Una referencia anterior es: Gary Chartrand: un enfoque teórico gráfico para un problema de comunicación , SIAM J. Appl. Matemáticas. 14-4 (1966), págs. 778-781.

— Falk Hüffner
fuente