Consecuencias de

Sabemos que si entonces todo el PH colapsa. ¿Qué pasa si la jerarquía polinómica se colapsa parcialmente? (¿O cómo entender que el PH podría colapsar por encima de cierto punto y no por debajo?)$P=NP$

En palabras más cortas, ¿cuáles serían las consecuencias de y P ≠ N P ?$NP=coNP$$P\ne NP$

Para mí, una de las consecuencias más básicas y sorprendentes de es la existencia de pruebas cortas para una gran cantidad de problemas en los que es muy difícil ver por qué deberían tener pruebas cortas. (Esto es como dar un paso atrás de "¿Qué otras implicaciones de complejidad tiene este colapso?" A "¿Cuáles son las razones básicas y prácticas de este colapso?")$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

Por ejemplo, si , entonces, para cada gráfico que no sea hamiltoniano, hay una breve prueba de ese hecho. Del mismo modo para los gráficos que no son de 3 colores. Del mismo modo para pares de gráficos que no son isomórficos. De manera similar para cualquier tautología proposicional .$\mathsf{NP}=\mathsf{coNP}$

En un mundo donde , la dificultad para probar tautologías proposicionales no es que algunas tautologías cortas tengan pruebas largas, porque en un mundo así cada tautología tiene una prueba polinomialmente corta, sino que hay algunas otra razón por la que no podemos encontrar esas pruebas de manera eficiente.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

Si también asumimos , entonces la hipótesis también causaría el colapso de las clases aleatorias:$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$ . Aunque todos estos se conjeturan para colapsar incondicionalmente en P , de todos modos, todavía está abierto si eso realmente sucede. En cualquier caso, N P = c o N P no parece implicar en sí mismo que estas clases aleatorias colapsen.$\,\,\mathsf{ZPP}=\mathsf{RP}=\mathsf{CoRP}=\mathsf{BPP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$

Si no lo hacen, es decir, al menos tenemos , entonces, junto con la hipótesis N P = c o N P , esto tendría otra consecuencia importante:$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$ . Esto se deduce del resultado de Babai, Fortnow, Nisan y Wigderson, que dice que si todas (tally) idiomas unarios en P H caen en P , entonces B P P = P . Por lo tanto, si B P P ≠ P , entonces pueden no toda la caída en P , como el N P = c o N P supuesto implica P H = N P . Por lo tanto, debe haber un lenguaje de conteo en N P - $\,\,\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}=\mathsf{P}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$. Finalmente, la presencia de un lenguaje tally en es bien conocida para implicar E ≠ N E .$\mathsf{NP}-\mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$

El razonamiento anterior muestra el efecto interesante que el hipótesis, a pesar de ser un colapso, en realidad amplifica la separación de poder de B P P ≠ P , ya que éste solo no se conoce implicar E ≠ N E . Esta "anomalía" parece apoyar la conjetura B P P = P .$\mathsf{NP}=co\mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}\neq \mathsf{P}$$\mathsf{E}\neq \mathsf{NE}$$\mathsf{BPP}= \mathsf{P}$

${\bf \#P}$

${ \rm \underline {Valiant's-Definition:}}$$C$$\#C =\cup_{A\in C}(\#P)^{A}$$({\#P}^A)$$A$

${\bf \#NP} = {\bf \#CoNP}$

${ \rm \underline {Toda's-Definition:}}$$C$$\# .C$$f$$C-$$R$$p$$x$$f(x)=||\{y|p(|x|)=|y|$$R(x,y)\}||$

${\bf \#.NP} = {\bf \#.CoNP}$${\bf NP} = {\bf CoNP}$

${\bf P}\not = {\bf NP}$${\bf FP} \not = {\bf \# P}$

Ker-i Ko demostró que hay un oráculo que hace que el PH colapse al nivel k-ésimo. Ver "Ker-I Ko: jerarquías de tiempo polinomial relativizado que tienen exactamente niveles de K. SIAM J. Comput. 18 (2): 392-408 (1989)".