Pájaros borrachos vs hormigas borrachos: caminatas aleatorias entre dos y tres dimensiones

Es bien sabido que una caminata aleatoria en la cuadrícula bidimensional volverá al origen con probabilidad 1. También se sabe que la misma caminata aleatoria en TRES dimensiones tiene una probabilidad estrictamente menor que 1 de regresar al origen .

Mi pregunta es:

¿Hay algo en el medio? Por ejemplo, supongamos que mi espacio era en realidad una región limitada del plano extruido al infinito en la dirección z. (lo que a menudo se llama 2.5 dimensional). ¿Se aplican los resultados bidimensionales o los tridimensionales?

Esto surgió en las discusiones, y un argumento heurístico que dice que se comporta en dos dimensiones es que, dado que la región finita del avión se cubrirá eventualmente, la única parte no trivial de la caminata es el rayo unidimensional a lo largo de la dirección z, y así volver al origen sucederá.

¿Hay otras formas que se interpolan entre el caso bidimensional y el tridimensional?

Actualización (extraída de los comentarios): se hizo una pregunta relacionada en MO : un breve resumen es que si la caminata es dimensional (2 + ϵ), entonces el retorno incierto se deriva libremente de una serie divergente. Sin embargo, la pregunta anterior es IMO ligeramente diferente ya que estoy preguntando sobre otros tipos de formas que pueden admitir cierto retorno.

pr.probability random-walks markov-chains

— Suresh Venkat
fuente

¡No sé mucho sobre el tema, pero la percolación surgió en mi pensamiento! ¿Qué tal caminar al azar en percolaciones? Parece probable que sea candidato para resultados dimensionales fraccionales para cualquier

n > 1

$n > 1$

— vs

¿en qué sentido te refieres en el medio? No parece haber mucho entre 1 y estrictamente por debajo de 1; entonces, ¿quieres que el intermedio sea con respecto a la dimensión del espacio? En otras palabras, ¿alguna respuesta tiene que ser caminar sobre algo con una medida natural de dimensión?

— Artem Kaznatcheev

(2 + ϵ)

$(2+\epsilon)$

Paseos aleatorios en curvas fractales .

— Aaron Sterling

z

$z$

Respuestas:

Probability on Trees and Networks de Peres and Lyons menciona esto en el Capítulo 2 (página 50):

$\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{Z}^3$

$W_{f} := {(x, y, z) : | z | \leq f (| x |)}$ $W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$
$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$ $n(f(n)+1)$

$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n (f (n) + 1)} = \infty$ $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$
es suficiente para la recurrencia

— Marcin Kotowski
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Esta es una excelente referencia y tiene una técnica general para determinar cuándo divergen tales caminatas. Agradable !

— Suresh Venkat

Una caminata aleatoria en 3-D en un espacio de 3x3x3 (como el cubo de un rubik) tiene una probabilidad menor de uno de regresar al origen, si la caminata comienza en el exterior; pero el de un espacio de 2x2x2 es uno, como lo es el espacio de 3x3x3 con el origen en el centro. Entonces parece que hay algunas formas intermedias, pero tal vez no muchas.

— xpda
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Pero un toroide es bidimensional. No me parece sorprendente que vuelva a su punto de partida. Parece un caso especial de 2D.

— John Moeller

Y acotado! Debería ser aún más fácil regresar al origen que en el avión.

— Derrick Stolee

Vaya, tienes razón. Lo editaré a otra forma.

— xpda