Si H G HG es un gráfico con el máximo grado 3 y es un menor de , entonces es un menor topológica de .HGH
Ya que es menor que H , G puede obtenerse de H eliminando bordes, vértices aislados y realizando contracciones de bordes. También es fácil demostrar que podemos insistir en que las operaciones del subgrafo se realicen primero, es decir, primero podemos realizar todas las eliminaciones de bordes y vértices y luego realizar todas las contracciones de bordes. Además, limitemos la definición de "contracción de borde" para no permitir bordes de contracción donde uno de los vértices tiene grado 1. Contratar dicho borde es lo mismo que eliminarlo, por lo que esto no cambiará la definición de gráficos menores.GHGH
Sea el gráfico obtenido de H al realizar primero todas las eliminaciones de borde / vértice. H ′H′HH′ todavía contiene como un menor. Si mostramos que H ' contiene G como un topológico menor, entonces hemos terminado, ya que la definición de topológico menor también permite la eliminación de bordes / vértices.GH′G
Desde GH′H′
H′G
H1H2H2H1H′GGH′H
GHGH
GHHHG
También necesitábamos este resultado para un trabajo una vez, por lo que incluimos una breve prueba en nuestro trabajo. Puede encontrar el resultado en la complejidad de la consulta cuántica de propiedades de gráficos cerrados menores . Se menciona en la página 13. Sin embargo, este hecho está oculto en la prueba de otra cosa y no se declara explícitamente como un teorema.
Lo que también es interesante es que hay un inverso a este teorema:
GGG