Paso de reducción de grado en la prueba de Dinur del teorema de PCP

En el paso de reducción de grados de la prueba de Dinur, el gráfico de entrada se transforma en un gráfico G ' reemplazando cada vértice v ∈ V ( G ) por un conjunto de vértices, c l o u d ( v ) , de modo que | c l o u d ( v ) | = d e g r e e G ( v ) , e imponiendo un gráfico expansor de grado d en c l $G$$G'$$v \in V(G)$$cloud(v)$$|cloud(v)| = degree_G(v)$ para todos v ∈ V ( G ) . Esto hace que G ' a d + 1 sea un gráfico regular, y la construcción asegura que la brecha se reduzca solo en un factor constante. Me preguntaba qué pasaría si impusiéramos un ciclo en cada nube. Traté de limitar la caída en la brecha, pero no pude hacerlo. Entonces, ¿la prueba se rompe en este paso?$cloud(v)$$v \in V(G)$$G'$

Es esencial para la construcción tener un expansor entre las copias de un vértice (la "nube" del vértice). De lo contrario, no podrá argumentar que el adversario que asigna valores a los vértices está mejor asignando a esos vértices el mismo valor.

En particular, si en lugar de un expansor tiene un ciclo, el probador puede asignar un valor de medio ciclo a un valor, y el otro medio ciclo a otro valor. De esta manera, con una buena probabilidad, el verificador no detectará la inconsistencia entre los vértices, pero no puede apelar a la solidez del gráfico original para demostrar la solidez del nuevo gráfico (es como permitir que el probador en el gráfico original use dos diferentes asignaciones para el vértice).