Solubilidad del relleno de matriz

La matriz tiene dimensión . Queremos llenar utilizando números enteros entre y , ambos inclusive. $A$ $n \times n(n-1)$ $A$ $1$ $n$

Requisitos:

Cada columna de es una permutación de . $A$ $1, \dots, n$
Cualquier submatriz formada por dos filas de no puede tener columnas idénticas. $A$

Pregunta:

¿Es posible llenar la matriz satisfaciendo los requisitos?

Relación con la criptografía:

Cada número de fila corresponde a un texto sin formato. Cada columna corresponde a una clave. Como una clave define una inyección, cada columna debe ser una permutación. El segundo requisito es el secreto perfecto para dos mensajes.

co.combinatorics cr.crypto-security coding-theory

— Cyker
fuente

Dado que ha etiquetado esto con cr.crypto-security, mejoraría la pregunta si pudiera indicar cómo se relaciona con crypto / security.

— Dave Clarke

Observaciones simples: dicha matriz existe para n≤4. Para n≤3, tome todas las permutaciones. Para n = 4, las únicas soluciones son tomar todas las permutaciones pares o todas las permutaciones impares.

— Tsuyoshi Ito

Gracias Ito. En realidad se me ocurrió la respuesta cuando

a mano. Pero las cosas se vuelven mucho más difíciles cuando

. Explosión exponencial se produce.

n \leq 4

$n \leq 4$

n \geq 5

$n \geq 5$

— Cyker

(1) Creo que el problema está relacionado con la teoría de codificación y lo agregué como una etiqueta. (2) Otra observación: el problema se puede plantear también de la siguiente manera. Encuentre una matriz B de tamaño n × (n ^ 2) de manera que cada una de las primeras n columnas de B sean las n repeticiones del mismo número y que B satisfaga la condición 2 en la pregunta. Si tal B existe, entonces cada una de las últimas n (n − 1) columnas de B debe ser una permutación. A la inversa, cualquier matriz A que satisface las condiciones 1 y 2 se puede convertir en una matriz de B uniendo las columnas n indicadas a la izquierda de A.

— Tsuyoshi Ito

Respuestas:

Tsuyoshi, gran observación en tu comentario! Creo que esto casi resuelve el problema.

Considere las siguientes dos preguntas

¿Existen filas de longitud para que ningún número aparezca dos veces en ninguna columna, y para cada par de filas todos los pares ordenados dados por las columnas son distintos? $k$ $n(n-1)$
¿Existen filas de longitud para que para cada par de filas, todos los pares ordenados dados por las columnas sean distintos? $k$ $n^2$

$k$ $k$ $k$ $k-1$

$1$ $n$ $\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$ $k-1$ $n$ $k-1$

$k$ $n^2$ $k-2$ $3$ $4$ $\ldots$ $k$ $j$ $i$ $j$ $i$

$n$ $n$ $n-2$ $n$ $n=6$ $k$ $k=\Omega(n^c)$ $c$ $1$

$n=6$ $k$ $6\times 6$ $n=10$ $k=4$

— Peter Shor
fuente

n - 2

$n - 2$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n

$n$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n = 6

$n = 6$

Esta es una muy buena conexión. ¡Gracias por la respuesta! Un punto menor: según Wikipedia, se sabe que existen n − 1 cuadrados latinos ortogonales para n prime power, no solo para n prime.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: ¡Vaya! Lo sabía; Solo lo dije mal. La construcción proviene de campos finitos. Gracias por la corrección. Arreglando ahora.

— Peter Shor

Supongo. :)

— Tsuyoshi Ito

Esta es una solución parcial. Tal matriz existe si n es una potencia principal.

Sea F el campo finito de orden n . Construimos una matriz n × n ( n −1) cuyas filas están etiquetadas con F , cuyas columnas están etiquetadas con ( F ∖ {0}) × F , y cuyas entradas están en F de la siguiente manera: la i -ésima fila de la La columna etiquetada ( a , b ) viene dada por ai + b . En palabras, cada columna corresponde a un grado y un polinomio en F . Entonces cada columna contiene cada elemento de F exactamente una vez, y no hay dos columnas que tengan entradas iguales en más de una fila porque los valores de dos polinomios de grado uno pueden coincidir como máximo en un punto.

(Si desea una matriz cuyas entradas están en {1, ..., n } en lugar de en F , reemplace los elementos de F con {1, ..., n } arbitrariamente).

— Tsuyoshi Ito
fuente

n + 1

$n + 1$

@Artem: Puede haber, especialmente dada la respuesta de Peter que conecta esta pregunta con cuadrados latinos ortogonales. (Negación: en mi opinión no experto, cuadrados latinos ortogonales, MUBS, diseños, diseños combinatorios unitarios y SIC-POVMs son casi indistinguibles.)

— Tsuyoshi Ito

Muchas gracias, Ito! ¡Este diseño se ve realmente hermoso!

— Cyker