¿Cuál es la brecha más grande entre el rango y el rango aproximado?

Sabemos que el registro del rango de una matriz 0-1 es el límite inferior de la complejidad de comunicación determinista, y el registro del rango aproximado es el límite inferior de la complejidad de la comunicación aleatoria. La brecha más grande entre la complejidad de comunicación determinista y la complejidad de comunicación aleatoria es exponencial. Entonces, ¿qué pasa con la brecha entre el rango y el rango aproximado de una matriz booleana?

— pyao
fuente

¿Cuál es el "rango aproximado" de una matriz?

— Suresh Venkat

El rango aproximado

ϵ

$\epsilon$ de una matriz booleana

M

$M$ es el rango mínimo de una matriz real

A

$A$ que difiere de

M

$M$ como máximo en

ϵ

$\epsilon$ en cualquier entrada (cf. Buhrman y Wolf 2001, "Límites inferiores de complejidad de comunicación por polinomios"). Sería útil editar la pregunta para explicar esto (si es la definición deseada) y describir el papel de

ϵ

$\epsilon$ (ya que la diferencia en los rangos depende claramente de

ϵ

$\epsilon$ ).

— mjqxxxx

Primero daré algunos antecedentes y definiré el rango aproximado. Una buena referencia es la encuesta reciente de Lee y Schraibman Lower Bounds sobre la complejidad de la comunicación .

$A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$

Cuando , defina $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ .

Un resultado de Krause dice que donde y es el complejidad de comunicación de moneda privada de error acotado de con error acotado superiormente por . $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

Lo anterior fue para el fondo. Ahora, para responder a la pregunta, Camas y Simon demostraron que caracteriza por completo la complejidad comunicación sin límites de errores de . También demostraron que este está de acuerdo con la dimensión mínima de una disposición de la realización de la función booleana cuya matriz es la comunicación . La complejidad de comunicación de error ilimitado de la función de igualdad es . Mantenlo en mente. $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

La matriz de comunicación para la igualdad es solo la identidad, es decir, una matriz booleana con filas y columnas con todas en diagonal. Denotemos esto por . Alon mostró que el que está estrechamente relacionado con un factor logarítmico (con el teorema de Krause obtenemos ). $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

La matriz de identidad tiene rango completo, es decir, . Por lo tanto, tenemos separaciones exponencialmente grandes para y . $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— Marcos Villagra
fuente

Gracias. pero mi pregunta es si hay una brecha superexponencial para el y el , donde pero no .

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao

aah ya veo, pero eso no está escrito en la pregunta. Que yo sepa, la brecha más grande es exponencial.

— Marcos Villagra

Marcos le da una referencia que muestra una brecha de entre y . ¿Cómo puede haber una brecha superexponencial cuando el tamaño de la matriz es ?

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov

¿te refieres a una brecha de lugar de ?

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— Sasho Nikolov

Sasho hace un buen punto, ¿qué quieres decir con "super-exponencial? Para cualquier problema de comunicación, la matriz siempre está sobre .

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— Marcos Villagra