¿Buenos códigos decodificables por circuitos de tamaño lineal?

Estoy buscando códigos de corrección de errores del siguiente tipo:

códigos binarios con tasa constante,
decodificable a partir de una fracción constante de errores, por un decodificador implementable como un circuito booleano de tamaño , donde es la longitud de codificación. $O(N)$ $N$

Algunos antecedentes:

Spielman, en códigos de corrección de errores codificables y decodificables en tiempo lineal , proporcionó códigos decodificables en tiempo en el modelo RAM de costo logarítmico , y también decodificables por circuitos de tamaño . $O(N)$ $O(N \log N)$
Guruswami e Indyk dieron una construcción mejorada en códigos codificables / decodificables de tiempo lineal con una tasa casi óptima . No analizan la complejidad del circuito resultante, aunque creo que también es . $\Theta(N \log N)$

¡Gracias por adelantado!

co.combinatorics it.information-theory coding-theory

— Andy Drucker
fuente

Andy, casualmente, también me encontré con este problema hace aproximadamente un año y después de una breve búsqueda, llegó a la conclusión de que la pregunta estaba abierta. Entonces, también tengo curiosidad si se sabe una respuesta.

— arnab

Este informe de ECCC acaba de salir. No lo he comprobado, pero espero que también dé el circuito

Θ (N \log N)

$\Theta(N \log N)$

— Peter Shor

¿Se puede lograr la decodificación

en el modelo AWGN o en el modelo binario?

O (N)

$O(N)$

— T ....

Los buenos códigos binarios que son completamente codificables y descodificables en tiempo completamente lineal (

) y logran una tasa de error

donde

es la longitud de bloque del código probablemente requiera una idea fundamentalmente nueva. Lo mejor hasta ahora es a lo largo de las líneas del teorema

en arxiv.org/pdf/1304.4321v2.pdf . Veamos si alguien mejora el

allí en el tiempo de codificación y decodificación

que creo que debería ser posible (incluso con

O (N)

$O(N)$

2^{- N}

$2^{-N}$

N

$N$

1

$1$

2^{- N^{0.49}}

$2^{-N^{0.49}}$

2^{- N^{1 - μ}}

$2^{-N^{1-\mu}}$

N^{1 + ϵ}

$N^{1+\epsilon}$

). Sin embargo, llevar

puede necesitar más que unos pocos trucos.

μ = 0

$\mu=0$

ϵ

$\epsilon$

0

$0$

— T ....

Echa un vistazo a los códigos de expansión. Estos códigos logran codificación y decodificación de tiempo lineal. La linealidad es wrt al tamaño de la palabra de código. Pero no estoy seguro de si pueden decodificarse utilizando circuitos lineales.

— Vivek Bagaria

Debe observar los códigos de Tornado {1}, que, para cualquier y y lo suficientemente grande, puede diseñarse para recuperarse (con alta probabilidad) de una pérdida de una fracción de bits en el tiempo proporcional a $R$ $\epsilon>0$ $n$ $(1-R)(1-\epsilon)$ (ver Teorema 1 en {1}). $n \ln \frac{1}{\epsilon}$

{1} Luby, Michael G., y col. "Códigos prácticos resistentes a las pérdidas". Actas del vigésimo noveno simposio anual de ACM sobre Teoría de la informática. ACM, 1997: http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/NEWWORK/postscripts/losscodes.pdf

— Ari Trachtenberg
fuente