Resultados en CS teórico independiente de ZFC

Voy a hacer una pregunta bastante vaga, ya que la frontera entre la informática teórica y las matemáticas no siempre es fácil de distinguir.

PREGUNTA: ¿Conoce algún resultado interesante en CS que sea independiente de ZFC (es decir, la teoría de conjuntos estándar), o que se demostró originalmente en ZFC (+ algún otro axioma) y solo se demostró más tarde en alorne ZFC?

Lo pregunto porque estoy cerca de terminar mi tesis doctoral, y mi resultado principal (la determinación de una clase de juegos que se utilizan para dar "semántica de juego" a un cálculo modal probabilístico) está actualmente demostrada en ZFC se extendió con otros Axiomas (es decir, la negación de la hipótesis del Continuo ¬ C H y el Axioma de Martin M A ).$\mu$$\neg CH$$MA$

Por lo tanto, la configuración es claramente informática (el cálculo modal es una lógica temporal, y lo estoy extendiendo para que funcione con sistemas probabilísticos).$\mu$

Quisiera citar en mi tesis otros ejemplos (si conoce alguno) de este tipo.

Gracias de antemano,

adiós

Matteo

Si bien no conozco ninguno de estos resultados, aparte del suyo, creo que podría ampliar un poco el alcance y preguntar: qué resultados en TCS se han demostrado utilizando (cualquier tipo de) axiomas no estándar. Por no estándar aquí me refiero a algo más que la lógica clásica con ZF (o ZFC).

Un hermoso ejemplo del tipo de trabajo que tengo en mente son los resultados de Alex Simpson sobre las propiedades de los lenguajes de programación que utilizan la teoría de dominio sintético. Utiliza la teoría de conjuntos intuicionista con axiomas que contradicen la lógica clásica.

Además, Alex y yo usamos axiomas intuicionistas con principios de continuidad anticlásicos para mostrar resultados sobre la computabilidad de Banach-Mazur.

Sin embargo, ninguno de los ejemplos mencionados tiene un estado "abierto", como sus pruebas, porque sabemos que los axiomas no estándar que utilizamos pueden entenderse simplemente como trabajando dentro de un modelo de matemática intuicionista, donde se puede demostrar que el modelo existe en ZFC Por lo tanto, la configuración no estándar es realmente una forma de hacer las cosas de manera más elegante, y en principio podrían hacerse en ZFC directo (aunque me temo pensar cómo sería exactamente eso).

Depende de su definición de "informática". Tome el siguiente ejemplo: ¿cuenta?

A la codificación de los números enteros es un código binario de forma única decodificable de . Si la longitud de las palabras de código no disminuye, llamamos al código monótono . Un código C 1 es mejor que un código C 2 si | C 1 ( n ) | - | C 2 ( n ) | → - ∞ . En otras palabras, para cada L , desde algún punto en las palabras de código de C 1 son al menos L bits más cortos.$\mathbb{N}$$C_1$$C_2$$|C_1(n)| - |C_2(n)| \rightarrow -\infty$$L$$C_1$$L$

Un conjunto de códigos se llama cofinal si para cada código de C hay un código D ∈ S , que es mejor que C . Está bien ordenado si está bien ordenado con respecto a "mejor". Una escala es un conjunto de códigos cofinales bien ordenados.$S$$C$$D \in S$$C$

Aquí hay dos propiedades que son independientes de ZFC:

1. Existe una escala de códigos.
2. Existe una escala de códigos monótonos (es decir, un conjunto bien ordenado de códigos monótonos que es cofinal en el conjunto de todos los códigos monótonos).

$D$$b \in D$$c$$b \leq_T c$$c \in D$

La declaración de la determinación del grado de Turing :

Cada conjunto de grados de Turing contiene un cono o es disjunto de algún cono

es una consecuencia del axioma de determinación (AD), que es independiente de ZF e incompatible con ZFC. La declaración más débil

Cada conjunto de reales de Borel que se cierra bajo la equivalencia de Turing contiene un cono o está separado de un cono

es una consecuencia del teorema de Martin sobre la determinación de Borel, que es demostrable en ZFC. Ambas declaraciones fueron estudiadas antes de que se probara el resultado de Martin sobre la determinación de Borel, en ese momento solo se sabía que ambas son demostrables en ZF + AD.

$S$$b$$c \in S$$b \leq_T c$$S$$S$

Recientemente asistí a una charla con uno de esos resultados, para determinar los juegos de Büchi de un contador: Olivier Finkel, The Determinacy of Context-Free Games , STACS 2012, http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/ 3389 / pdf / 5.pdf .

Muchas matemáticas constructivas. Vea el trabajo de Per Martin-Löf sobre la teoría de conjuntos constructivos, utilizada como base para lenguajes de programación de tipo dependiente.