Me comuniqué con Joel Friedman hace aproximadamente 3 años sobre este tema. En ese momento dijo que su enfoque no había conducido a ninguna nueva comprensión significativa de la teoría de la complejidad, aunque todavía pensaba que era una táctica prometedora.
Básicamente, Friedman intenta reformular los problemas de la complejidad del circuito en el lenguaje de las gavillas en una topología de Grothendieck. La esperanza es que este proceso permita que la intuición geométrica se aplique al problema de encontrar los límites inferiores del circuito. Si bien vale la pena verificar si este camino conduce a alguna parte, existen razones heurísticas para ser escépticos. La intuición geométrica funciona mejor en el contexto de variedades suaves, o cosas que son lo suficientemente similares a las variedades suaves que la intuición no se descompone por completo. En otras palabras, necesita cierta estructura para que la intuición geométrica se establezca. Pero los límites inferiores del circuito, por su propia naturaleza, deben enfrentar cálculos arbitrarios, que son difíciles de analizar precisamente porque parecen no tener estructura. Friedman admite desde el principio que las topologías de Grothendieck que considera son altamente combinatorias y muy alejadas de los objetos habituales de estudio en geometría algebraica.
Como comentario adicional, diría que es importante no entusiasmarse demasiado con una idea solo porque utiliza maquinaria desconocida y de alta potencia. La maquinaria puede ser muy efectiva para resolver los problemas para los que fue diseñada, pero para que sea útil para atacar un problema difícil conocido en otro dominio, debe haber algún argumento convincente por qué la maquinaria extranjera está bien adaptada para abordar los problemas fundamentales. obstáculo en el problema de interés.