Limitar el número de aristas entre los gráficos de estrellas de modo que el gráfico sea plano

Tengo un gráfico que consiste solo en gráficos de estrellas. Un gráfico de estrella consiste en un nodo central que tiene bordes para cada otro nodo en él. Deje ser diferentes gráficos radiales de diferentes tamaños que están presentes en . Llamamos al conjunto de todos los nodos que son centros en cualquier gráfico estrella .H 1 , H 2 , … , H n G $G$$H_1, H_2, \ldots, H_n$$G$$R$

Supongamos ahora que estos gráficos radiales están construyendo bordes a otros gráficos radiales de tal manera que ningún borde incide entre los nodos en . Entonces, ¿cuántos bordes existen al máximo entre los nodos en y los nodos que no están en , si el gráfico debe permanecer plano?R $R$$R$$R$

Quiero el límite superior en el número de tales bordes. Un límite superior que tengo en cuenta es: considerarlos como grafo plano bipartito donde es un conjunto de vértices y el resto de los vértices forman otro conjunto . Estamos interesados ​​en los bordes entre estos conjuntos ( y ). Puesto que es bipartito planar, el número de tales bordes está delimitada por dos veces el número de nodos en .A R A $R$$A$$R$$A$$G$

Lo que siento es que hay una mejor obligado, tal vez dos veces en los nodos más el número de nodos en .$A$$R$

En caso de que pueda refutar mi intuición, eso también sería bueno. Esperemos que algunos de ustedes puedan llegar a un buen límite junto con algunos argumentos relevantes.

Su afirmación es un poco ambigua: en primer lugar se escribe que "... de tal manera que ningún borde incide entre los nodos en ", pero el siguiente párrafo implica que tampoco hay aristas entre vértices en . También supondré que las estrellas son disjuntas, y que cuenta todos los bordes (incluidos los inicialmente presentes en las estrellas). Supongamos también que hay al menos dos estrellas, y al menos una de ellas tiene grado .A ≥ $R$$A$$\ge 2$

En ese caso, no puede vencer el límite ( = número de todos los vértices). Considere un escenario ligeramente diferente: comience con cualquier conjunto de vértices, algunos rojos y otros negros, al menos dos de cada tipo. En cada paso, agregue arbitrariamente un borde entre un vértice rojo y uno negro, siempre que no cree intersecciones o bordes duplicados. Afirmo que cuando te atascas, todos los ciclos tienen una longitud .N N $2N-4$$N$$N$$4$

Su escenario es un caso especial de este proceso donde comienza creando primero estrellas y luego agregando los bordes restantes. Si todos los ciclos tienen una longitud , sigue el límite . En términos más generales, muestra que no importa desde qué gráfico bipartito comience, siempre puede completarlo en un gráfico cuadrilatado (una palabra que inventé).2 N - $4$$2N-4$

Ahora, vamos a mostrar el reclamo. En este proceso, todos los caminos tendrán vértices negros y rojos alternos y cada ciclo tendrá una longitud de al menos . Si el gráfico no está conectado, puede conectar cualquier vértice rojo en la cara externa de un componente con un vértice negro en la otra cara de otro componente. Entonces podemos suponer que el gráfico ya está conectado.$4$

Suponga que tiene una cara de longitud o más. debe tener al menos tres vértices negros (algunos posiblemente iguales). Si algún vértice se repite en , tomar dos apariciones consecutivas de las agujas del reloj , digamos . debe contener un vértice negro , por lo que, dependiendo de la ubicación de , podríamos conectar o bien o a dentro de sin duplicar bordes. Si no se repite ningún vértice, elija una sección en sentido horario de6 F x F x x - a - . . . - x - b . . . F z ≠ x z a b z F x - a - y - b - z $F$$6$$F$$x$$F$$x$$x-a-...-x-b...$$F$$z\neq x$$z$$a$$b$$z$$F$$x-a-y-b-z$$F$$x,y,z$$a,b$$x$$b$$a$$z$$(x,b)$$(a,z)$$F$