Algoritmos polinomiales para UPB (Bases de producto no extensibles)

Considere un espacio de Hilbert . Una base de producto no extensible (UPB) es un conjunto de vectores de producto | v i ⟩ = | v 1 i ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | v n i ⟩ tal que:$H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$

a) todos son mutuamente ortogonales$\vert v_i \rangle$

b) no existe un vector de producto ortogonal para todos $\vert v_i \rangle$

c) la base no es trivial, es decir, no abarca $H$

(tales bases son de interés en la información cuántica)

Preguntas:

1. ¿Existe un algoritmo polinomial (en ) para encontrar UPB? (tenga en cuenta que en general no hay límite superior en el tamaño de UPB, por lo que a priori podría ser exponencial en n )$n$$n$

2. ¿Existe un algoritmo polinómico para verificar si una base de producto dada es un UPB? (es decir, no se puede ampliar)

¿O es el problema NP-completo?

Estoy un poco desconcertado por la pregunta (1). Existe una base de producto no extensible en si n ≥ 3 o si n = 2 y dim H 1 , dim H 2 ≥ 3 . En todos estos casos, es sencillo encontrar uno.$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$$n\geq 3$$n=2$$\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$

Para la pregunta (2), la pregunta es equivalente a verificar si hay un estado del producto tensor en el subespacio que es el complemento del espacio abarcado por la base. Leonid Gurvits ha demostrado que verificar si un subespacio general contiene un estado del producto tensor es NP-duro, por lo que sospecho que también es difícil en este caso.

La clasificación completa también se conoce para otro caso simple 3x3, esto se aborda por primera vez en el documento http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 .

El resultado también está relacionado con la construcción de estados arbitrarios 3x3 PPT enredados de rango cuatro. Ver el periódico

http://arxiv.org/abs/1105.3142 .